Um ponto
é um ponto da elipse de equação reduzida
se, e somente se, as distâncias de
aos focos
e
são
Passo 1
O enunciado quer mostrar a equivalência entre duas formas de definir a elipse de semi‐eixos
(maior) e
(menor), com
e focos
,
:
— Forma algébrica:
— Forma algébrica:
— Forma fócal:
Vamos provar “se e somente se” dividindo em duas direções.
Passo 2
(Prova da forma algébrica para a fócal)
Suponha que satisfaça
Suponha que
Então
e, usando
, calculamos
Como
, segue
De modo análogo,
Passo 3
(Prova do fócal para a forma algébrica)
Agora suponha que
Agora suponha que
e note que
Da igualdade
seguimos
seguimos
isto é,
Resposta
Demonstramos que
como pedido.