Um ponto P(x, y) é um ponto da elipse de equação reduzida x^2a^2+y^2b^2=1 se, e somente se, as distâncias de P aos focos F1 e F2 são
d(P, F1)=a+c xa e d(P, F2)=a-c xa

Passo 1

O enunciado quer mostrar a equivalência entre duas formas de definir a elipse de semi‐eixos a (maior) e b (menor), com c^2=a^2-b^2 e focos F1(-c,0), F2(c,0):
— Forma algébrica:
x^2a^2+y^2b^2=1
— Forma fócal:
d(P,F1)=a+c,xa, d(P,F2)=a-c,xa
Vamos provar “se e somente se” dividindo em duas direções.

Passo 2

(Prova da forma algébrica para a fócal)
Suponha que l(x,yr) satisfaça
x^2a^2+y^2b^2=1
Então y^2=b^2l(1-tfracx^2a^2r) e, usando c^2=a^2-b^2, calculamos
d(P,F1)^2 =(x+c)^2+y^2 =x^2+2c x+c^2 +b^2 -b^2x^2a^2 =x^2!l(1-b^2a^2r)+2cx+(c^2+b^2) =c^2x^2a^2+2cx+a^2 =l(a+c,xar)^2
Como d(P,F1)>0, segue
d(P,F1)=a+c,xa
De modo análogo,
d(P,F2)^2=(x-c)^2+y^2 =l(a-c,xar)^2 Longrightarrow d(P,F2)=a-c,xa

Passo 3

(Prova do fócal para a forma algébrica)
Agora suponha que
d(P,F1)=a+c,xa, d(P,F2)=a-c,xa,
e note que
d(P,F1)^2=(x+c)^2+y^2, d(P,F2)^2=(x-c)^2+y^2
Da igualdade
(x+c)^2+y^2=(a+tfracc,xa)^2
seguimos
y^2 =(a+tfracc,xa)^2-(x+c)^2 =b^2-b^2x^2a^2 =b^2!l(1-x^2a^2r),
isto é,
x^2a^2+y^2b^2=1

Resposta

Demonstramos que
x^2a^2+y^2b^2=1 Long<=ftrightarrow d(P,F1)=a+c,xa,; d(P,F2)=a-c,xa,
como pedido.

Exercícios relacionados