Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com excentricidade
e diretriz
Hipérbole com excentricidade
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação polar da cônica que satisfaz as propriedades abaixo.
Informações dadas:
(excentricidade)
diretriz
(reta vertical)
Pressuposição padrão (implícita em problemas assim): o foco está na origem do sistema de coordenadas polares .
Informações dadas:
Pressuposição padrão (implícita em problemas assim): o foco está na origem do sistema de coordenadas polares
Passo 2
Vamos entender a definição geométrica que usamos para escrever a equação polar. A definição de cônica por foco e diretriz diz: o conjunto dos pontos
tais que a distância do ponto ao foco é igual a
vezes a distância do ponto à diretriz. Escrevendo isso com a origem como foco e um ponto genérico em coordenadas polares
, temos:
Aqui
é a distância do ponto ao foco (origem). Agora precisamos escrever a distância do ponto
à reta diretriz
em termos de
e
.
Passo 3
A coordenada
do ponto
é
. A distância (assinada) de um ponto
à reta vertical
é
. Para o ponto polar:
Como a definição usa distância positiva, usamos o valor positivo dessa expressão quando for adequado; mas algebraicamente podemos começar escrevendo a relação sem o valor absoluto, assumindo a região onde
. Assim a condição da cônica fica:
Passo 4
Agora desenvolvemos a equação acima passo a passo. Partindo de
subtraímos
dos dois lados:
Colocando
em evidência:
Finalmente isolamos
:
Esta é a forma polar da cônica quando a diretriz é
e tomamos a distância da diretriz como
(isto é, usamos
sem trocar de sinal). Repare que aqui usamos
(a distância do foco à diretriz) diretamente na constante do lado direito.
Passo 5
Substituímos os valores numéricos dados:
e a distância do foco à diretriz
(já usada no passo anterior). Assim:
Esta é a equação polar procurada. Observação didática rápida: como
, a denominação
pode se anular para alguns
(quando
), o que corresponde às direções das assíntotas da hipérbole — característica esperada para hipérboles.