Escreva as equações polares das cônicas com as propriedades dadas:
Hipérbole com excentricidade e=2 e diretriz x=-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação polar da cônica que satisfaz as propriedades abaixo.
Informações dadas:
\;e=2 (excentricidade)
\;diretriz \;x=-1 (reta vertical)
Pressuposição padrão (implícita em problemas assim): o foco está na origem do sistema de coordenadas polares (r,\theta).

Passo 2

Vamos entender a definição geométrica que usamos para escrever a equação polar. A definição de cônica por foco e diretriz diz: o conjunto dos pontos P tais que a distância do ponto ao foco é igual a e vezes a distância do ponto à diretriz. Escrevendo isso com a origem como foco e um ponto genérico em coordenadas polares (r,\theta), temos:
r = e \cdot \text{(distância de }(r,\theta)\text{ à diretriz)}.âà
Aqui r é a distância do ponto ao foco (origem). Agora precisamos escrever a distância do ponto (r,\theta) à reta diretriz \;x=-1 em termos de r e \theta.

Passo 3

A coordenada x do ponto (r,\theta) é \;x = r\cos\theta. A distância (assinada) de um ponto (x,y) à reta vertical \;x=-1 é x - (-1) = x + 1. Para o ponto polar:
\text{distância assinada} = r\cos\theta + 1.â
Como a definição usa distância positiva, usamos o valor positivo dessa expressão quando for adequado; mas algebraicamente podemos começar escrevendo a relação sem o valor absoluto, assumindo a região onde r\cos\theta + 1>0. Assim a condição da cônica fica:
r = e\,(r\cos\theta + 1).

Passo 4

Agora desenvolvemos a equação acima passo a passo. Partindo de
r = e\,(r\cos\theta + 1),
subtraímos e r\cos\theta dos dois lados:
r - e r\cos\theta = e.
Colocando r em evidência:
r\,(1 - e\cos\theta) = e.
Finalmente isolamos r:
r = \frac{e}{1 - e\cos\theta}.
Esta é a forma polar da cônica quando a diretriz é \;x=-1 e tomamos a distância da diretriz como +1 (isto é, usamos r\cos\theta+1 sem trocar de sinal). Repare que aqui usamos d=1 (a distância do foco à diretriz) diretamente na constante do lado direito.

Passo 5

Substituímos os valores numéricos dados: \;e=2 e a distância do foco à diretriz \;d=1 (já usada no passo anterior). Assim:
r = \frac{2}{1 - 2\cos\theta}.
Esta é a equação polar procurada. Observação didática rápida: como \;e>1, a denominação 1-2\cos\theta pode se anular para alguns \theta (quando \cos\theta=\tfrac12), o que corresponde às direções das assíntotas da hipérbole — característica esperada para hipérboles.

Resposta

r = \frac{2}{1 - 2\cos\theta}

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