Utilizando regras de derivação previamente estabelecidas, calcule as derivadas das seguintes funções.
(e) f(x)=11+x+x^2+x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de derivada! O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x) = 11 + x + x^2 + x^3 . Para isso, vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos derivando. A função f(x) é uma fração onde o numerador é 1 e o denominador é 1 + x + x^2 + x^3 .
Podemos reescrever f(x) como:
f(x) = (1 + x + x^2 + x^3)^-1

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia para derivar essa função. A regra da cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função. No nosso caso, temos uma função elevada a uma potência.
A regra da cadeia diz que:
ddx [g(x)]^n = n cdot [g(x)]^n-1 cdot g'(x)
Aqui, g(x) = 1 + x + x^2 + x^3 e n = -1 .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de g(x) , que é g'(x) .
Derivando cada termo de g(x) :
ddx(1) = 0
ddx(x) = 1
ddx(x^2) = 2x
ddx(x^3) = 3x^2
Então,
g'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2
g'(x) = 1 + 2x + 3x^2

Passo 5

Aplicando agora a regra da cadeia:
f'(x) = -1 cdot (1 + x + x^2 + x^3)^-2 cdot (1 + 2x + 3x^2)
Isso simplifica para:
f'(x) = - 1 + 2x + 3x^2(1 + x + x^2 + x^3)^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = - 1 + 2x + 3x^2(1 + x + x^2 + x^3)^2

Exercícios relacionados