Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 10^n(-9)^n-1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty 10^n(-9)^,n-1
usando o teste da comparação. O conteúdo é séries numéricas e vamos comparar com uma série geométrica conhecida.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral da série:
an = 10^n(-9)^,n-1 = 10^n(-9)^n,l(-9r) = -9,l(tfrac10-9r)^n = -9,(-1)^nl(tfrac109r)^n
Em módulo, isso dá
|an| = 9l(tfrac109r)^n

Passo 3

Definimos a série de comparação
bn = l(tfrac109r)^n
Como a razão é tfrac109>1, a série
sumn=1^infty bn
é uma série geométrica divergente. Observe que para todo n>=1 vale
|an| = 9,bn >= bn
Pelo teste da comparação, sum|an| diverge. Assim, a série original não converge absolutamente. Além disso, como an não tende a zero, ela também não converge condicionalmente.

Resposta

A série diverge.

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