Escreva as equações das seguintes hipérboles:
(b) Os focos são F_{1}=(-1,-1) e F_{2}=(1,1) e satisfaz \left|\operatorname{dist}\left(P, F_{1}\right)-\operatorname{dist}\left(P, F_{2}\right)\right|=2;

Passo 1

O enunciado pede a equação da hipérbole cujos focos são F_{1}=(-1,-1) e F_{2}=(1,1) e tal que
\bigl|\operatorname{dist}(P,F_{1})-\operatorname{dist}(P,F_{2})\bigr|=2.
O conteúdo aqui é a definição clássica de hipérbole (diferença constante das distâncias aos focos). Para resolver, precisamos achar o centro, identificar o eixo focal (linha que passa pelos focos), usar coordenadas rotacionadas para alinhar esse eixo a um dos eixos coordenados, aplicar a forma padrão da hipérbole e depois retornar às variáveis x,y.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos:
C=\bigl(\tfrac{-1+1}{2},\tfrac{-1+1}{2}\bigr)=(0,0).
A distância do centro a cada foco é
c=\sqrt{(1-0)^{2}+(1-0)^{2}}=\sqrt{2}.
Os focos estão sobre a reta y=x, então o eixo transverso da hipérbole será nessa direção.

Passo 3

Para alinhar o eixo transverso ao novo eixo u, definimos a rotação de 45^\circ:
u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}.
Em (u,v), os focos ficam em
F_{1}: (u,v)=(-\sqrt{2},0),\quad F_{2}: (u,v)=(\sqrt{2},0).

Passo 4

Na forma padrão de hipérbole centrada em O com eixos em u,v e focos em (\pm c,0), vale
\bigl|\operatorname{dist}(P,F_{2})-\operatorname{dist}(P,F_{1})\bigr|=2a.
Como o enunciado dá essa diferença igual a 2, temos 2a=2\Rightarrow a=1.
Também sabemos c=\sqrt{2}, então
b^{2}=c^{2}-a^{2}=2-1=1.
Logo a equação em u,v é
\frac{u^{2}}{a^{2}}-\frac{v^{2}}{b^{2}}=1 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}-v^{2}=1.

Passo 5

Voltando a x,y, substituímos
u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\quad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}
em
u^{2}-v^{2}=1.
Fazendo as contas:
\frac{(x+y)^{2}}{2}-\frac{(x-y)^{2}}{2}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}{2}=1 \;\Longrightarrow\; \frac{4xy}{2}=1 \;\Longrightarrow\; 2xy=1 \;\Longrightarrow\; xy=\tfrac{1}{2}.

Resposta

A equação da hipérbole é
xy = \frac{1}{2}.

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