Nos Exercícios 9 e 10: (a) Para que valores de h o vetor \mathbf{v}_{3} pertence a \mathscr{L}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} ? (b) Para que valores de h o conjunto \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} é linearmente dependente? Justifique cada resposta.
\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 9 \\\\ -6\end{array}\right], \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -7 \\\ h\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}-3\\\ 9\\\ -6\end{pmatrix},\quad \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}5\\\ -7\h\end{pmatrix}
e pede:
(a) para quais h temos \mathbf{v}_{3}\in\mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\};
(b) para quais h o conjunto \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} é linearmente dependente.
Usaremos definição de combinação linear e de dependência linear.

Passo 2

Note que
\mathbf{v}_{2}=-3\,\mathbf{v}_{1},
logo \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são colineares e \mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}=\{k\,\mathbf{v}_{1}\mid k\in\mathbb{R}\}.

Passo 3

Para (a), \mathbf{v}_{3}\in\mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} implica existir a,b tais que
\mathbf{v}_{3}=a\,\mathbf{v}_{1}+b\,\mathbf{v}_{2} =(a-3b)\,\mathbf{v}_{1},
isto é, \mathbf{v}_{3} deve ser múltiplo de \mathbf{v}_{1}. Logo existe k com
\begin{pmatrix}5\\\ -7\h\end{pmatrix} =k\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}k\\\ -3k\\\ 2k\end{pmatrix}.
Comparando a 1ª coordenada dá k=5, mas a 2ª dá -3k=-7\Rightarrow k=7/3, contradição.
Logo não há nenhum h que satisfaça.

Passo 4

Para (b), como \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} já são dependentes ( 3\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}=0), qualquer conjunto que os contenha é automaticamente linearmente dependente, independentemente de \mathbf{v}_{3}.

Resposta

(a) Não existe valor de h.
(b) O conjunto é linearmente dependente para todo h\in\mathbb{R}.

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