Nos Exercícios 9 e 10: (a) Para que valores de h o vetor \mathbf{v}_{3} pertence a \mathscr{L}\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} ? (b) Para que valores de h o conjunto \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} é linearmente dependente? Justifique cada resposta. \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 9 \\\\ -6\end{array}\right], \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{r}5 \\\\ -7 \\\ h\end{array}\right]
e pede:
(a) para quais h temos \mathbf{v}_{3}\in\mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\};
(b) para quais h o conjunto \{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}\} é linearmente dependente.
Usaremos definição de combinação linear e de dependência linear.
Passo 2
Note que
\mathbf{v}_{2}=-3\,\mathbf{v}_{1},
logo \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} são colineares e \mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\}=\{k\,\mathbf{v}_{1}\mid k\in\mathbb{R}\}.
Passo 3
Para (a), \mathbf{v}_{3}\in\mathscr{L}\{\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2}\} implica existir a,b tais que
Comparando a 1ª coordenada dá k=5, mas a 2ª dá -3k=-7\Rightarrow k=7/3, contradição.
Logo não há nenhum h que satisfaça.
Passo 4
Para (b), como \mathbf{v}_{1} e \mathbf{v}_{2} já são dependentes (3\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}=0), qualquer conjunto que os contenha é automaticamente linearmente dependente, independentemente de \mathbf{v}_{3}.
Resposta
(a) Não existe valor de h.
(b) O conjunto é linearmente dependente para todo h\in\mathbb{R}.