Exercício 9. Calcule as seguintes integrais (por substituição):
\int \cos x e^{5 \operatorname{sen} x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos x \,e^{5\sin x}\,dx
usando o método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x,
então
du = \cos x\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \cos x \,e^{5\sin x}\,dx =\int e^{5u}\,du.

Passo 4

A integral de e^{5u} é imediata pela regra da exponencial composta:
\int e^{5u}\,du =\frac{1}{5}e^{5u}+C.
Voltando a variável x, temos
\frac{1}{5}e^{5\sin x}+C.

Resposta

\frac{1}{5}e^{5\sin x}+C

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