1. Escreva a expansão da série binomial de (1+x)^k. Qual é o raio de convergência desta série?

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências da função (1+x)^k (série binomial) e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o conceito de série de Taylor em torno de x=0 e aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio.

Passo 2

Definimos o coeficiente binomial geral como
binomkn = k,(k-1),(k-2)cdots(k-n+1)n!,
válido para todo n>=0, com a convenção binomk0=1.

Passo 3

Substituindo esses coeficientes na expansão de Taylor em x=0, obtemos
(1+x)^k = sumn=0^infty binomkn,x^n

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o Teste da Razão aos termos an = binomknx^n:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |binomkn+1,x^n+1binomkn,x^n| = limntoinfty |k-nn+1,x| = |x|
A série converge se |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.

Resposta

(1+x)^k = sumn=0^infty k,(k-1)cdots(k-n+1)n!,x^n, R = 1

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