Escreva a expansão da série binomial de . Qual é o raio de convergência desta série?
Passo 1
O enunciado pede a expansão em série de potências da função (série binomial) e o raio de convergência dessa série. Vamos usar o conceito de série de Taylor em torno de e aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio.
Passo 2
Definimos o coeficiente binomial geral como
válido para todo , com a convenção .
Passo 3
Substituindo esses coeficientes na expansão de Taylor em , obtemos
Passo 4
Para achar o raio de convergência , aplicamos o Teste da Razão aos termos :
A série converge se |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.
Resposta
(1+x)^k = sumn=0^infty k,(k-1)cdots(k-n+1)n!,x^n, R = 1