Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergência para cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de e seu intervalo de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de (Maclaurin) e depois aplicar o teste da razão para achar onde ela converge.
Passo 2
Calculamos as derivadas de e avaliamos em :
e o ciclo se repete a cada quatro derivadas. Assim,
e em geral se for par, e .
Passo 3
A série de Maclaurin é
Como só aparecem termos ímpares com , obtemos
Passo 4
Para o raio de convergência usamos o teste da razão em :
Logo o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é (-infty,infty).