Escreva a série de Maclaurin e o intervalo de convergência para cada uma das seguintes funções:
sen x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de sin x e seu intervalo de convergência. Vamos usar a definição de série de Taylor em torno de 0 (Maclaurin) e depois aplicar o teste da razão para achar onde ela converge.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f(x)=sin x e avaliamos em 0:
f(x)=sin x, f'(x)=cos x, f''(x)=-sin x, f'''(x)=-cos x,
e o ciclo se repete a cada quatro derivadas. Assim,
f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1,
e em geral f^(n)(0)=0 se n for par, e f^(2k+1)(0)=(-1)^k.

Passo 3

A série de Maclaurin é
sin x = sumn=0^infty f^(n)(0)n!,x^n
Como só aparecem termos ímpares n=2k+1 com f^(2k+1)(0)=(-1)^k, obtemos
sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!,x^2k+1

Passo 4

Para o raio de convergência usamos o teste da razão em ak = (-1)^k(2k+1)!x^2k+1:
limktoinfty |ak+1ak| = limktoinfty |x|^2(2k+2)(2k+3) = 0 < 1 para todo x
Logo o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

Resposta

sin x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)!,x^2k+1,
intervalo de convergência: (-infty,infty).

Exercícios relacionados