Questão 12 - Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
y^prime=e^x-2 y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = e^x - 2y
O conteúdo principal é a técnica de separação de variáveis e integração de exponenciais.

Passo 2

Escrevemos a derivada de forma a evidenciar a separabilidade:
dydx = e^x ,e^-2y

Passo 3

Separamos as variáveis levando todos os termos em y para o lado esquerdo e os termos em x para o direito:
e^2y,dy = e^x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. Sabemos que
integral e^2y,dy = 12e^2y, integral e^x,dx = e^x
Logo, após a integração, obtemos
12e^2y = e^x + C

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por 2 e definimos uma nova constante C1=2C:
e^2y = 2e^x + C1,
y = 12lnl(2e^x + C1r)

Resposta

A solução geral é
y(x) = 12lnl(2e^x + Cr),
onde C é constante arbitrária.

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