(a) Escreva explicitamente os polinômios base de Lagrange
e
para os nós
e
.
(b) Construa o polinômio interpolante
.
(c) Estime
usando
.
(d) Comente se a interpolação linear parece adequada para esses pontos.
Considere a tabela de valores:
1.0
1.8
1.0000
1.2806
(b) Construa o polinômio interpolante
(c) Estime
(d) Comente se a interpolação linear parece adequada para esses pontos.
|
|
1.0 | 1.8 |
|
|
1.0000 | 1.2806 |
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
- (a) Escrever explicitamente os polinômios base de Lagrange
e para os nós e . - (b) Construir o polinômio interpolante de grau 1
. - (c) Estimar
usando . - (d) Comentar se a interpolação linear parece adequada para esses pontos.
Informações dadas (retiradas da tabela do enunciado):
Passo 2
Apresento a fórmula dos polinômios base de Lagrange (aulas rápidas e praticando a notação): para dois nós
e
temos
Aqui cada
é construído para valer 1 no nó
e 0 no outro nó — isso garante que a combinação linear com os valores
reproduz exatamente os dados.
Agora aplico essas fórmulas aos nós numéricos dados:
Calculo as diferenças necessárias:
Substituindo:
Expliquei o porquê da forma alternativa
para
: multiplicando numerador e denominador por
fica mais direto para calcular valores numéricos.
Passo 3
Construo o polinômio interpolante linear
usando os valores
e
da tabela (já listados no Passo 1):
Substituindo os números:
Vou simplificar passo a passo. Primeiro somo os numeradores sobre o mesmo denominador
:
Expando o numerador:
Somando:
Calculo cada parte:
Logo
Dividindo por
(ou multiplicando por
, que é
):
Faço as divisões:
e
. Assim
Observação didática rápida: com dois pontos o polinômio interpolante de grau 1 é exatamente a reta que passa pelos dois pontos — podemos ver isso aqui pois a expressão é linear em
.
Passo 4
Agora estimo
usando
. Substituo
na expressão encontrada:
Calculo passo a passo:
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos
Passo 5
Comentário sobre a adequação da interpolação linear (tom amigo e empático): com apenas dois pontos qualquer reta que passe por eles vai reproduzi-los exatamente — isso é óbvio e verdadeiro aqui. Para saber se a reta dá uma boa aproximação em pontos intermediários (como
) precisamos saber algo sobre a curvatura da função verdadeira
no intervalo
. A forma teórica do erro da interpolação de grau 1 é
para algum
no intervalo, ou seja, o erro depende de
(a curvatura). Como não temos informação sobre
, não dá para garantir numericamente a precisão. No entanto:
- O ponto que queremos (
) está dentro do intervalo entre os nós (interpolação, não extrapolação), o que normalmente dá estimativas mais confiáveis. - Se
for suave e não tiver curvatura grande nesse intervalo, a aproximação linear provavelmente é bastante adequada. - Se
tiver curvatura significativa (por exemplo comportamento visivelmente não linear), o erro pode ser relevante e aí seria melhor usar mais nós ou um polinômio de grau maior.
Conclusão prática: a interpolação linear é perfeitamente adequada para obter uma estimativa rápida e simples em
, mas sua qualidade real depende da curvatura de
; sem informação adicional não podemos afirmar com certeza absoluta que o erro é pequeno. Força aí — a técnica está correta e é a apropriada quando só temos dois pontos!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) A interpolação linear passa exatamente pelos dois pontos e é uma estimativa razoável para (interpolação, não extrapolação); porém a precisão real depende da curvatura
no intervalo — sem mais informação não dá para garantir que o erro seja pequeno.
(b)
(c)
(d) A interpolação linear passa exatamente pelos dois pontos e é uma estimativa razoável para