(a) Escreva explicitamente os polinômios base de Lagrange L_{0}(x) e L_{1}(x) para os nós x_{0}=1.0 e x_{1}=1.8.
(b) Construa o polinômio interpolante p_{1}(x)=f\left(x_{0}\right) L_{0}(x)+f\left(x_{1}\right) L_{1}(x).
(c) Estime f(1.5) usando p_{1}(1.5).
(d) Comente se a interpolação linear parece adequada para esses pontos.
Considere a tabela de valores:
x 1.0 1.8
f(x) 1.0000 1.2806

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. (a) Escrever explicitamente os polinômios base de Lagrange L_{0}(x) e L_{1}(x) para os nós x_{0}=1{,}0 e x_{1}=1{,}8.
  2. (b) Construir o polinômio interpolante de grau 1 \;p_{1}(x)=f(x_{0})L_{0}(x)+f(x_{1})L_{1}(x).
  3. (c) Estimar f(1{,}5) usando p_{1}(1{,}5).
  4. (d) Comentar se a interpolação linear parece adequada para esses pontos.
Informações dadas (retiradas da tabela do enunciado):
x_{0}=1{,}0,\qquad x_{1}=1{,}8,
f(x_{0})=1{,}0000,\qquad f(x_{1})=1{,}2806.

Passo 2

Apresento a fórmula dos polinômios base de Lagrange (aulas rápidas e praticando a notação): para dois nós \;x_{0} e \;x_{1} temos
L_{0}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{0}-x_{1}},\qquad L_{1}(x)=\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
Aqui cada L_{j}(x) é construído para valer 1 no nó x_{j} e 0 no outro nó — isso garante que a combinação linear com os valores f(x_j) reproduz exatamente os dados.
Agora aplico essas fórmulas aos nós numéricos dados:
x_{0}=1{,}0,\qquad x_{1}=1{,}8.
Calculo as diferenças necessárias:
x_{0}-x_{1}=1{,}0-1{,}8=-0{,}8,\qquad x_{1}-x_{0}=+0{,}8.
Substituindo:
L_{0}(x)=\frac{x-1{,}8}{1{,}0-1{,}8}=\frac{x-1{,}8}{-0{,}8}=\frac{1{,}8-x}{0{,}8},
L_{1}(x)=\frac{x-1{,}0}{1{,}8-1{,}0}=\frac{x-1{,}0}{0{,}8}.
Expliquei o porquê da forma alternativa \frac{1{,}8-x}{0{,}8} para L_{0}: multiplicando numerador e denominador por -1 fica mais direto para calcular valores numéricos.

Passo 3

Construo o polinômio interpolante linear \;p_{1}(x) usando os valores f(x_{0}) e f(x_{1}) da tabela (já listados no Passo 1):
p_{1}(x)=f(x_{0})\,L_{0}(x)+f(x_{1})\,L_{1}(x).
Substituindo os números:
p_{1}(x)=1{,}0000\cdot\frac{1{,}8-x}{0{,}8}+1{,}2806\cdot\frac{x-1{,}0}{0{,}8}.
Vou simplificar passo a passo. Primeiro somo os numeradores sobre o mesmo denominador 0{,}8:
p_{1}(x)=\frac{1{,}0000(1{,}8-x)+1{,}2806(x-1{,}0)}{0{,}8}.
Expando o numerador:
1{,}0000(1{,}8-x)=1{,}8-x,
1{,}2806(x-1{,}0)=1{,}2806x-1{,}2806.
Somando:
\text{numerador}=1{,}8-x+1{,}2806x-1{,}2806=(1{,}8-1{,}2806)+(-x+1{,}2806x).
Calculo cada parte:
1{,}8-1{,}2806=0{,}5194,\qquad -x+1{,}2806x=0{,}2806x.
Logo
\text{numerador}=0{,}5194+0{,}2806x.
Dividindo por 0{,}8 (ou multiplicando por 1{,}25, que é 1/0{,}8):
p_{1}(x)=\frac{0{,}2806}{0{,}8}x+\frac{0{,}5194}{0{,}8}.
Faço as divisões: \;0{,}2806/0{,}8=0{,}35075 e \;0{,}5194/0{,}8=0{,}64925. Assim
p_{1}(x)=0{,}35075\,x+0{,}64925.
Observação didática rápida: com dois pontos o polinômio interpolante de grau 1 é exatamente a reta que passa pelos dois pontos — podemos ver isso aqui pois a expressão é linear em x.

Passo 4

Agora estimo f(1{,}5) usando p_{1}(1{,}5). Substituo x=1{,}5 na expressão encontrada:
p_{1}(1{,}5)=0{,}35075\cdot 1{,}5+0{,}64925.
Calculo passo a passo:
0{,}35075\cdot 1{,}5=0{,}526125,
p_{1}(1{,}5)=0{,}526125+0{,}64925=1{,}175375.
Arredondando razoavelmente (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos
p_{1}(1{,}5)\approx 1{,}1754.

Passo 5

Comentário sobre a adequação da interpolação linear (tom amigo e empático): com apenas dois pontos qualquer reta que passe por eles vai reproduzi-los exatamente — isso é óbvio e verdadeiro aqui. Para saber se a reta dá uma boa aproximação em pontos intermediários (como x=1{,}5) precisamos saber algo sobre a curvatura da função verdadeira f no intervalo [1{,}0,1{,}8]. A forma teórica do erro da interpolação de grau 1 é
R_{1}(x)=\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_{0})(x-x_{1})
para algum \xi no intervalo, ou seja, o erro depende de f'' (a curvatura). Como não temos informação sobre f'', não dá para garantir numericamente a precisão. No entanto:
  • O ponto que queremos ( x=1{,}5) está dentro do intervalo entre os nós (interpolação, não extrapolação), o que normalmente dá estimativas mais confiáveis.
  • Se f for suave e não tiver curvatura grande nesse intervalo, a aproximação linear provavelmente é bastante adequada.
  • Se f tiver curvatura significativa (por exemplo comportamento visivelmente não linear), o erro pode ser relevante e aí seria melhor usar mais nós ou um polinômio de grau maior.
Conclusão prática: a interpolação linear é perfeitamente adequada para obter uma estimativa rápida e simples em x=1{,}5, mas sua qualidade real depende da curvatura de f; sem informação adicional não podemos afirmar com certeza absoluta que o erro é pequeno. Força aí — a técnica está correta e é a apropriada quando só temos dois pontos!

Resposta

(a) L_{0}(x)=\dfrac{1{,}8-x}{0{,}8},\qquad L_{1}(x)=\dfrac{x-1{,}0}{0{,}8}.
(b) p_{1}(x)=1{,}0000\cdot L_{0}(x)+1{,}2806\cdot L_{1}(x)=0{,}35075\,x+0{,}64925.
(c) p_{1}(1{,}5)=1{,}175375\approx 1{,}1754.
(d) A interpolação linear passa exatamente pelos dois pontos e é uma estimativa razoável para x=1{,}5 (interpolação, não extrapolação); porém a precisão real depende da curvatura f'' no intervalo — sem mais informação não dá para garantir que o erro seja pequeno.

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