- Construa a tabela de diferenças divididas até a ordem 2 .
- Determine o polinômio interpolador
na forma de Newton:
- Estime
usando
.
- Compare com
e calcule o erro absoluto.
Considere os valores tabelados de
:
0
0,2
0,4
1,0000
1,2214
1,4918
|
|
0 | 0,2 | 0,4 |
|
|
1,0000 | 1,2214 | 1,4918 |
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas claras:
- Construir a tabela de diferenças divididas até a ordem 2.
- Determinar o polinômio interpolador
na forma de Newton
- Estimar
usando . - Comparar com
e calcular o erro absoluto.
As informações dadas na tabela (peguei estes dados diretamente da tabela do enunciado) são:
Passo 2
Vamos aprender o que é diferença dividida de primeira ordem e calcular as duas primeiras.
Definição (primeira ordem): para dois pontos
e
,
Isto é uma “inclinação média” entre os dois pontos; serve como coeficiente na forma de Newton.
Calculemos
:
Calculemos
:
Passo 3
Agora a diferença dividida de segunda ordem. Definição (segunda ordem): para três pontos
Isto mede a variação das inclinações (uma espécie de “segunda derivada média”) e aparece como coeficiente do termo quadrático na forma de Newton.
Calculemos:
Passo 4
Apresentando a tabela de diferenças divididas (até ordem 2) obtida a partir dos dados da tabela do enunciado:
(Esses valores vieram dos cálculos dos passos anteriores.)]
Passo 5
Agora montamos o polinômio na forma de Newton. A forma geral já foi dada; substituindo os coeficientes que calculamos:
Com os números:
Podemos deixar assim para usar na avaliação; se quiseres expandir em polinômio padrão dá para desenvolver, mas para avaliar em um ponto a forma de Newton é muito conveniente.
Passo 6
Vamos estimar
calculando
. Substituímos
e efetuamos as contas passo a passo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Somando:
Arredondando mantendo a mesma precisão dos dados (4 casas decimais) obtemos
, mas vou manter o valor mais exato
para o cálculo do erro.
Passo 7
Comparação com
(valor fornecido no enunciado) e cálculo do erro absoluto:
Isso é um erro muito pequeno (aproximadamente
), o que mostra que o polinômio quadrático baseado nesses três pontos aproxima bem
em
.
Resposta
- Tabela de diferenças divididas:
(aprox.
).\n
4) Erro absoluto )