1. Construa a tabela de diferenças divididas até a ordem 2 .
  2. Determine o polinômio interpolador P_{2}(x) na forma de Newton:
P_{2}(x)=f\left[x_{0}\right]+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) .
  1. Estime f(0,3) usando P_{2}.
  2. Compare com e^{0,3}=1,3499 e calcule o erro absoluto.
Considere os valores tabelados de f(x)=e^{x} :
x 0 0,2 0,4
f(x) 1,0000 1,2214 1,4918

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas claras:
  1. Construir a tabela de diferenças divididas até a ordem 2.
  2. Determinar o polinômio interpolador P_{2}(x) na forma de Newton
P_{2}(x)=f\left[x_{0}\right]+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right).
  1. Estimar f(0,3) usando P_{2}.
  2. Comparar com e^{0,3}=1,3499 e calcular o erro absoluto.
As informações dadas na tabela (peguei estes dados diretamente da tabela do enunciado) são:
x_0=0,\quad f(x_0)=1,0000;
x_1=0,2,\quad f(x_1)=1,2214;
x_2=0,4,\quad f(x_2)=1,4918.

Passo 2

Vamos aprender o que é diferença dividida de primeira ordem e calcular as duas primeiras.
Definição (primeira ordem): para dois pontos x_i e x_{i+1},
f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}.
Isto é uma “inclinação média” entre os dois pontos; serve como coeficiente na forma de Newton.
Calculemos f[x_0,x_1]:
f[x_0,x_1] = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \frac{1,2214-1,0000}{0,2-0} = \frac{0,2214}{0,2} =1,107.
Calculemos f[x_1,x_2]:
f[x_1,x_2] = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = \frac{1,4918-1,2214}{0,4-0,2} = \frac{0,2704}{0,2} =1,352.

Passo 3

Agora a diferença dividida de segunda ordem. Definição (segunda ordem): para três pontos
f[x_0,x_1,x_2] = \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Isto mede a variação das inclinações (uma espécie de “segunda derivada média”) e aparece como coeficiente do termo quadrático na forma de Newton.
Calculemos:
f[x_0,x_1,x_2] = \frac{1,352-1,107}{0,4-0} = \frac{0,245}{0,4} =0,6125.

Passo 4

Apresentando a tabela de diferenças divididas (até ordem 2) obtida a partir dos dados da tabela do enunciado:
\begin{array}{lcl} f[x_0]=f(0)= & 1,0000,\\[4pt] f[x_1]=f(0,2)= & 1,2214,\\[4pt] f[x_2]=f(0,4)= & 1,4918, \end{array} \qquad \begin{array}{lcl} f[x_0,x_1]= & 1,107,\\[4pt] f[x_1,x_2]= & 1,352, \end{array} \qquad \begin{array}{l} f[x_0,x_1,x_2]=0,6125. \end{array}
(Esses valores vieram dos cálculos dos passos anteriores.)]

Passo 5

Agora montamos o polinômio na forma de Newton. A forma geral já foi dada; substituindo os coeficientes que calculamos:
P_{2}(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Com os números:
P_{2}(x)=1,0000+1,107\,(x-0)+0,6125\,(x-0)\,(x-0,2).
Podemos deixar assim para usar na avaliação; se quiseres expandir em polinômio padrão dá para desenvolver, mas para avaliar em um ponto a forma de Newton é muito conveniente.

Passo 6

Vamos estimar f(0,3) calculando P_{2}(0,3). Substituímos x=0,3 e efetuamos as contas passo a passo:
Primeiro termo:
T_0 = 1,0000.
Segundo termo:
T_1 = 1,107\cdot(0,3-0)=1,107\cdot0,3=0,3321.
Terceiro termo:
T_2 = 0,6125\cdot(0,3-0)\cdot(0,3-0,2) =0,6125\cdot0,3\cdot0,1 =0,6125\cdot0,03 =0,018375.
Somando:
P_{2}(0,3)=T_0+T_1+T_2=1,0000+0,3321+0,018375=1,350475.
Arredondando mantendo a mesma precisão dos dados (4 casas decimais) obtemos 1,3505, mas vou manter o valor mais exato 1,350475 para o cálculo do erro.

Passo 7

Comparação com e^{0,3}=1,3499 (valor fornecido no enunciado) e cálculo do erro absoluto:
\text{erro absoluto}=\left|P_{2}(0,3)-e^{0,3}\right| =\left|1,350475-1,3499\right| =0,000575.
Isso é um erro muito pequeno (aproximadamente 5,75\times10^{-4}), o que mostra que o polinômio quadrático baseado nesses três pontos aproxima bem e^{x} em x=0,3.

Resposta

  1. Tabela de diferenças divididas: f[x_0]=1,0000,\;f[x_1]=1,2214,\;f[x_2]=1,4918;\;f[x_0,x_1]=1,107,\;f[x_1,x_2]=1,352,\;f[x_0,x_1,x_2]=0,6125.\n 2) \(P_{2}(x)=1,0000+1,107\,(x-0)+0,6125\,(x-0)\,(x-0,2).\n 3) \(P_{2}(0,3)=1,350475 (aprox. 1,3505).\n
    4) Erro absoluto \left|P_{2}(0,3)-e^{0,3}\right|=0,000575.)

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