- Determine o polinômio interpolante
que passa pelos três pontos dados, usando sistema linear.
- Use o polinômio obtido para estimar
.
- Compare o valor estimado com o valor real
e comente o erro relativo.
A tabela abaixo fornece valores da função
em três pontos igualmente espaçados:
-1
0
1
0.6931
0.6931
1.0986
|
|
-1 | 0 | 1 |
|
|
0.6931 | 0.6931 | 1.0986 |
Passo 1
O problema pede três coisas: (1) determinar o polinômio quadrático
que passa pelos três pontos dados, usando sistema linear; (2) usar esse polinômio para estimar
; (3) comparar a estimativa com o valor real
e comentar o erro relativo.
Os dados fornecidos (da tabela) são os três pontos igualmente espaçados:
Os dados fornecidos (da tabela) são os três pontos igualmente espaçados:
Passo 2
Vou escrever as condições de interpolação: o polinômio
deve satisfazer
para cada ponto. Substituindo os três pontos obtemos o sistema linear em
:
para :
para
para
:
para
:
Esse é o sistema pedido — cada equação vem de substituir
na expressão de
.
Passo 3
Usando a equação do ponto
temos imediatamente:
Agora substituo
nas outras duas equações para reduzir o sistema a duas equações em
.
Passo 4
Substituindo
na equação para
:
Substituindo na equação para
:
Agora tenho o sistema simples
Passo 5
Vou resolver esse sistema. Somando as duas equações:
Logo
Da primeira equação
segue
. Portanto
Passo 6
Reunindo os coeficientes que encontramos:
Assim o polinômio interpolante obtido é
Passo 7
Agora uso esse polinômio para estimar
. Substituo
em
:
Calculo passo a passo:
Somando:
Passo 8
Agora comparo com o valor real
. Usando valores conhecidos:
Calculo o erro absoluto:
E o erro relativo (fração do valor exato) é
ou seja aproximadamente
.
Passo 9
Comentário sobre o erro (curta e direta): um polinômio de grau
ajustado a três pontos pode não reproduzir perfeitamente a curvatura da função
entre os nós, especialmente porque os dois primeiros pontos têm o mesmo valor na tabela (isso reduz informação sobre variação ali). Isso explica o erro relativo da ordem de
. Nada de desespero — o procedimento está certo e o erro é razoável para um interpolador quadrático com esses dados.