1. Determine o polinômio interpolante p_{2}(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} que passa pelos três pontos dados, usando sistema linear.
  2. Use o polinômio obtido para estimar f(0.5).
  3. Compare o valor estimado com o valor real \ln (2.5) e comente o erro relativo.
A tabela abaixo fornece valores da função f(x)=\ln (x+2) em três pontos igualmente espaçados:
x -1 0 1
f(x) 0.6931 0.6931 1.0986

Passo 1

O problema pede três coisas: (1) determinar o polinômio quadrático p_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} que passa pelos três pontos dados, usando sistema linear; (2) usar esse polinômio para estimar f(0,5); (3) comparar a estimativa com o valor real \ln(2,5) e comentar o erro relativo.
Os dados fornecidos (da tabela) são os três pontos igualmente espaçados:
(-1,\;0{,}6931),\quad (0,\;0{,}6931),\quad (1,\;1{,}0986).

Passo 2

Vou escrever as condições de interpolação: o polinômio p_{2}(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} deve satisfazer p_{2}(x_i)=f(x_i) para cada ponto. Substituindo os três pontos obtemos o sistema linear em a_{0},a_{1},a_{2}:
para x=-1:
a_{0}-a_{1}+a_{2}=0{,}6931,
para x=0:
a_{0}=0{,}6931,
para x=1:
a_{0}+a_{1}+a_{2}=1{,}0986.
Esse é o sistema pedido — cada equação vem de substituir x na expressão de p_{2}(x).

Passo 3

Usando a equação do ponto x=0 temos imediatamente:
a_{0}=0{,}6931.
Agora substituo a_{0} nas outras duas equações para reduzir o sistema a duas equações em a_{1},a_{2}.

Passo 4

Substituindo a_{0}=0{,}6931 na equação para x=-1:
0{,}6931 - a_{1} + a_{2} = 0{,}6931 \quad\Longrightarrow\quad -a_{1}+a_{2}=0.
Substituindo na equação para x=1:
0{,}6931 + a_{1} + a_{2} = 1{,}0986 \quad\Longrightarrow\quad a_{1}+a_{2}=1{,}0986-0{,}6931=0{,}4055.
Agora tenho o sistema simples
\begin{cases} -a_{1}+a_{2}=0,\\[4pt] a_{1}+a_{2}=0{,}4055. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver esse sistema. Somando as duas equações:
(-a_{1}+a_{2})+(a_{1}+a_{2}) = 0 + 0{,}4055 \;\Longrightarrow\; 2a_{2}=0{,}4055.
Logo
a_{2}=\dfrac{0{,}4055}{2}=0{,}20275.
Da primeira equação -a_{1}+a_{2}=0 segue a_{1}=a_{2}. Portanto
a_{1}=0{,}20275.

Passo 6

Reunindo os coeficientes que encontramos:
a_{0}=0{,}6931,\qquad a_{1}=0{,}20275,\qquad a_{2}=0{,}20275.
Assim o polinômio interpolante obtido é
p_{2}(x)=0{,}6931+0{,}20275\,x+0{,}20275\,x^{2}.

Passo 7

Agora uso esse polinômio para estimar f(0{,}5). Substituo x=0{,}5 em p_{2}:
p_{2}(0{,}5)=0{,}6931+0{,}20275\cdot(0{,}5)+0{,}20275\cdot(0{,}5)^{2}.
Calculo passo a passo:
0{,}20275\cdot(0{,}5)=0{,}101375,
(0{,}5)^{2}=0{,}25\quad\Longrightarrow\quad 0{,}20275\cdot0{,}25=0{,}0506875.
Somando:
p_{2}(0{,}5)=0{,}6931+0{,}101375+0{,}0506875=0{,}8451625.

Passo 8

Agora comparo com o valor real \ln(2{,}5). Usando valores conhecidos:
\ln(2{,}5)\approx0{,}9162907.
Calculo o erro absoluto:
\text{erro absoluto}=|\ln(2{,}5)-p_{2}(0{,}5)|=|0{,}9162907-0{,}8451625|=0{,}0711282.
E o erro relativo (fração do valor exato) é
\text{erro relativo}=\dfrac{\text{erro absoluto}}{|\ln(2{,}5)|}=\dfrac{0{,}0711282}{0{,}9162907}\approx0{,}07764,
ou seja aproximadamente 7{,}764\%.

Passo 9

Comentário sobre o erro (curta e direta): um polinômio de grau 2 ajustado a três pontos pode não reproduzir perfeitamente a curvatura da função \ln(x+2) entre os nós, especialmente porque os dois primeiros pontos têm o mesmo valor na tabela (isso reduz informação sobre variação ali). Isso explica o erro relativo da ordem de 8\%. Nada de desespero — o procedimento está certo e o erro é razoável para um interpolador quadrático com esses dados.

Resposta

p_{2}(x)=0{,}6931+0{,}20275\,x+0{,}20275\,x^{2}
p_{2}(0{,}5)\approx0{,}8451625
\ln(2{,}5)\approx0{,}9162907,\\ \text{erro absoluto}\approx0{,}0711282,\\ \text{erro relativo}\approx0{,}07764\\ (\approx7{,}764\%)

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