Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.
Passo 1
O enunciado apresenta a sequência
e pede: “Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.” Informações relevantes que temos:
- Os termos da sequência são
. - Cada termo tem uma “posição” inteira
(assumiremos a convenção habitual de que o primeiro termo corresponde a ). - A tarefa é encontrar uma fórmula que, dada a posição
, retorne o valor do termo correspondente.
Passo 2
Observe o padrão entre os termos: cada termo aumenta de
em relação ao anterior. Para ver isso, calcule as diferenças entre termos consecutivos:
Como as diferenças são constantes e iguais a
, a sequência é uma progressão aritmética com razão
. Não se assuste com o nome — é só uma sequência onde você soma sempre o mesmo número para avançar de termo.
Passo 3
Vou apresentar a fórmula geral de uma progressão aritmética (uma ferramenta padrão que se usa nesse tipo de sequência). A fórmula para o
-ésimo termo é:
Expliquei o que cada símbolo significa:
-
é o termo na posição (o que queremos encontrar). -
é o primeiro termo da sequência (o termo quando ). -
é a razão (a diferença constante entre termos). -
é a posição (um número natural: ).
Passo 4
Agora identificamos os valores na nossa sequência:
- O primeiro termo é
(porque o primeiro número dado é ). - A razão é
(porque vimos que as diferenças entre termos consecutivos são ).
Substituindo esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão passo a passo (não pule etapas — é assim que você faz na prova sem errar):
Começamos expandindo o produto:
Começamos expandindo o produto:
Distribuindo o
sobre
:
Agora some os termos constantes
e
:
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (importante para ganhar segurança na prova):
A fórmula final diz que o termo na posição é
. Teste com alguns valores pequenos:
A fórmula final diz que o termo na posição
- Para
: (confere com o primeiro termo). - Para
: (confere). - Para
: (confere).
Se esses testes batem, a fórmula está muito provavelmente correta — e aqui está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova (curto e doce): quando você vê uma sequência que cresce linearmente (sempre somando o mesmo valor), pense imediatamente em uma função linear
. Aqui os termos são pares, então a forma
já fica fácil de reconhecer. Se tivesse começado em outro número, você ajustaria
.