Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.
2,4,6,8, \ldots

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência 2,4,6,8,\ldots e pede: “Escreva uma expressão algébrica que relacione os números à sua posição na sequência.” Informações relevantes que temos:
  • Os termos da sequência são 2,4,6,8,\ldots.
  • Cada termo tem uma “posição” inteira n (assumiremos a convenção habitual de que o primeiro termo corresponde a n=1).
  • A tarefa é encontrar uma fórmula que, dada a posição n, retorne o valor do termo correspondente.

Passo 2

Observe o padrão entre os termos: cada termo aumenta de 2 em relação ao anterior. Para ver isso, calcule as diferenças entre termos consecutivos:
4-2=2,\quad 6-4=2,\quad 8-6=2.
Como as diferenças são constantes e iguais a 2, a sequência é uma progressão aritmética com razão 2. Não se assuste com o nome — é só uma sequência onde você soma sempre o mesmo número para avançar de termo.

Passo 3

Vou apresentar a fórmula geral de uma progressão aritmética (uma ferramenta padrão que se usa nesse tipo de sequência). A fórmula para o n-ésimo termo é:
a_n = a_1 + (n-1)\,d
Expliquei o que cada símbolo significa:
  • a_n é o termo na posição n (o que queremos encontrar).
  • a_1 é o primeiro termo da sequência (o termo quando n=1).
  • d é a razão (a diferença constante entre termos).
  • n é a posição (um número natural: 1,2,3,\ldots).

Passo 4

Agora identificamos os valores na nossa sequência:
  • O primeiro termo é a_1=2 (porque o primeiro número dado é 2).
  • A razão é d=2 (porque vimos que as diferenças entre termos consecutivos são 2).
Substituindo esses valores na fórmula:
a_n = 2 + (n-1)\cdot 2

Passo 5

Vamos simplificar a expressão passo a passo (não pule etapas — é assim que você faz na prova sem errar):
Começamos expandindo o produto:
a_n = 2 + 2(n-1).
Distribuindo o 2 sobre (n-1):
a_n = 2 + 2n - 2.
Agora some os termos constantes 2 e -2:
a_n = 2n.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (importante para ganhar segurança na prova):
A fórmula final diz que o termo na posição n é 2n. Teste com alguns valores pequenos:
  • Para n=1: 2\cdot 1 = 2 (confere com o primeiro termo).
  • Para n=2: 2\cdot 2 = 4 (confere).
  • Para n=3: 2\cdot 3 = 6 (confere).
    Se esses testes batem, a fórmula está muito provavelmente correta — e aqui está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova (curto e doce): quando você vê uma sequência que cresce linearmente (sempre somando o mesmo valor), pense imediatamente em uma função linear an + b. Aqui os termos são pares, então a forma 2n já fica fácil de reconhecer. Se tivesse começado em outro número, você ajustaria b.

Resposta

a_n = 2n,\quad n\in\mathbb{N},\; n\ge 1

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