Resolva as equações trigonométricas, considerando que 0 \leq x<2 \pi :
2 \operatorname{sen} x+3=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação trigonométrica na faixa 0 \leq x < 2\pi:
2\operatorname{sen} x + 3 = 2.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é x.
  • A função trigonométrica presente é \operatorname{sen} x.
  • O intervalo a considerar é 0 \leq x < 2\pi.

Passo 2

Isolar \operatorname{sen} x. Subtraindo 3 de ambos os lados e dividindo por 2:
2\operatorname{sen} x + 3 = 2
2\operatorname{sen} x = 2 - 3
2\operatorname{sen} x = -1
\operatorname{sen} x = -\tfrac{1}{2}.
Explicando: aqui fiz operações algébricas simples (subtração e divisão) para deixar a equação só em torno de \operatorname{sen} x. Sempre que vir uma constante somada ou multiplicando a função, isole a função aplicando operações inversas.

Passo 3

Entender o que significa \operatorname{sen} x = -\tfrac{1}{2}.
  • A função \operatorname{sen} x dá a coordenada y de um ponto na circunferência unitária correspondente ao ângulo x.
  • Valores trigonométricos conhecidos (úteis): \operatorname{sen}\,0 = 0, \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}, \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2} = 1, \operatorname{sen}\pi = 0, \operatorname{sen}\tfrac{3\pi}{2} = -1.
  • Como \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}, o valor \tfrac{1}{2} tem ângulo de referência \tfrac{\pi}{6}. Para obter -\tfrac{1}{2} o ângulo deve ter o mesmo ângulo de referência \tfrac{\pi}{6} mas estar em um quadrante onde seno é negativo.
Lembrando sinais por quadrante:
  • Quadrante I: \operatorname{sen}>0.
  • Quadrante II: \operatorname{sen}>0.
  • Quadrante III: \operatorname{sen}<0.
  • Quadrante IV: \operatorname{sen}<0.
Portanto, \operatorname{sen} x = -\tfrac{1}{2} ocorre no terceiro e no quarto quadrantes com ângulo de referência \tfrac{\pi}{6}.

Passo 4

Determinar os ângulos no intervalo 0 \leq x < 2\pi.
  • No terceiro quadrante o ângulo é x = \pi + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{6\pi}{6} + \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{7\pi}{6}.
  • No quarto quadrante o ângulo é x = 2\pi - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{12\pi}{6} - \tfrac{\pi}{6} = \tfrac{11\pi}{6}.
Esses dois valores estão no intervalo pedido e têm seno igual a -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (substituição na equação original):
Para x = \tfrac{7\pi}{6}:
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right) = -\tfrac{1}{2}, \quad 2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)+3 = 2\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)+3 = -1+3 = 2.
Para x = \tfrac{11\pi}{6}:
\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right) = -\tfrac{1}{2}, \quad 2\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{11\pi}{6}\right)+3 = 2.
Ambos satisfazem a equação, logo estão corretos.

Passo 6

Observação adicional (útil para provas): a solução geral para \operatorname{sen} x = -\tfrac{1}{2} é
x = \tfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad\text{ou}\quad x = \tfrac{11\pi}{6} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
mas como o enunciado pede apenas 0 \leq x < 2\pi, tomamos apenas k=0.

Resposta

\tfrac{7\pi}{6}
\tfrac{11\pi}{6}

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