Escreva a expressão R(L) de confiabilidade modelada por f(t) e calcule a confiabilidade para L=2 anos. Interprete o resultado para o caso em que existem 100 máquinas cuja vida possa ser modelada por f(t).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função densidade de probabilidade $ f(t) $ que modela a vida útil de máquinas. O objetivo é:
  1. Escrever a expressão da função de confiabilidade $ R(L) $ baseada em $ f(t) $.
  2. Calcular a confiabilidade quando $ L = 2 $ anos.
  3. Interpretar esse resultado para 100 máquinas.
Vamos precisar entender o que é confiabilidade e como ela se relaciona com a função de densidade $ f(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre confiabilidade. Em termos simples, a confiabilidade $ R(L) $ é a probabilidade de uma máquina funcionar sem falhas por pelo menos $ L $ anos. Matematicamente, isso é representado por:
R(L)
Onde $ T $ é a variável aleatória que representa o tempo de vida útil da máquina.

Passo 3

Para encontrar $ R(L) $ usando a função densidade $ f(t) $, usamos a integral da função densidade de $ L $ até o infinito. Isso porque queremos a probabilidade de a máquina durar mais que $ L $ anos. Então, a expressão fica:
R(L)

Passo 4

Agora, vamos calcular a confiabilidade para $ L = 2 $ anos. Substituímos $ L $ por 2 na expressão:
L = 2
Essa integral nos dá a probabilidade de uma única máquina funcionar mais de 2 anos.

Passo 5

Por fim, vamos interpretar isso para 100 máquinas. Se cada máquina tem uma probabilidade $ R(2) $ de durar mais de 2 anos, e assumindo que as máquinas são independentes, o número esperado de máquinas que durarão mais de 2 anos é:
R(2) úá
Isso significa que, multiplicando a confiabilidade de uma única máquina por 100, obtemos o número esperado de máquinas que estarão funcionando após 2 anos.

Resposta

A expressão da confiabilidade é $ R(L) = \int_{L}^{\infty} f(t) , dt $. Para $ L = 2 $ anos, a confiabilidade é $ R(2) = \int_{2}^{\infty} f(t) , dt $. Em um conjunto de 100 máquinas, espera-se que $ 100 \times R(2) $ máquinas continuem funcionando após 2 anos.

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