Faça a análise de Regressão linear simples e estime o coeficiente de determinação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Regressão Linear Simples e descobrir o coeficiente de determinação. Basicamente, a regressão linear simples ajuda a entender como duas variáveis estão relacionadas, e o coeficiente de determinação nos mostra o quanto dessa relação explica as variações dos dados. Para isso, vamos precisar das fórmulas de regressão e entender como calcular o R².

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é Regressão Linear Simples. É uma técnica estatística que modela a relação entre duas variáveis: uma independente (X) e uma dependente (Y). A ideia é encontrar uma reta que melhor se ajusta aos pontos dos dados. A equação dessa reta é:
Y = a + bX
Onde:
  • $ Y $ é a variável dependente.
  • $ X $ é a variável independente.
  • $ a $ é o intercepto (ponto onde a reta cruza o eixo Y).
  • $ b $ é o coeficiente angular (indica a inclinação da reta).

Passo 3

Para encontrar os coeficientes $ a $ e $ b $, usamos as seguintes fórmulas:
a
b
Onde $ n $ é o número de observações. Esses cálculos envolvem somas dos valores de X, Y, X vezes Y, e X ao quadrado. Com esses valores, calculamos $ b $ e depois $ a $, estabelecendo assim a equação da reta de regressão.

Passo 4

Agora, vamos ao coeficiente de determinação (R²). Ele nos diz o quanto da variação em Y é explicada pela variação em X através da nossa reta de regressão. A fórmula é:
R^2 = 1 - SSresSStot
Onde:
  • $ SS_{res} = \sum (Y_i - \hat{Y}_i)^2 $ é a soma dos quadrados dos resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela regressão).
  • $ SS_{tot} = \sum (Y_i - \overline{Y})^2 $ é a soma total dos quadrados (diferença entre cada valor de Y e a média de Y).
Calculando esses valores, substituímos na fórmula para encontrar o R², que varia entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 1, melhor a nossa regressão explica os dados.

Resposta

O coeficiente de determinação (R²) estima o quanto da variação na variável dependente $ Y $ é explicada pela variável independente $ X $ na regressão linear simples. A fórmula é:
Y

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