Seja X uma variável aleatória discreta, com a seguinte distribuição de probabilidades:
xi 0 1 2
P(X=xi) 12 13 16
Calcule E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a Esperança Matemática e a Variância de uma variável aleatória discreta . Para isso, vamos usar os conceitos de probabilidade e estatística, especificamente as fórmulas para calcular a média e a variância de uma distribuição discreta. Precisamos das probabilidades e dos valores que pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança Matemática E(X) = sumi xi cdot P(X = xi) . A esperança é basicamente a média ponderada dos valores que E(X) = 0 cdot 12 + 1 cdot 13 + 2 cdot 16 pode assumir, onde os pesos são as probabilidades desses valores.
A fórmula é:
Vamos aplicar isso com os valores da tabela:

Passo 3

Vamos calcular cada termo:
0 cdot 12 = 0
1 cdot 13 = 13
2 cdot 16 = 26 = 13
Agora, somamos esses resultados:
E(X) = 0 + 13 + 13 = 23

Passo 4

Agora, vamos calcular a Variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 . A variância mede o quanto os valores de E(X^2) = sumi xi^2 cdot P(X = xi) se desviam da média .
A fórmula é:
Primeiro, vamos calcular , que é a esperança do quadrado de :

Passo 5

Aplicando os valores da tabela:
E(X^2) = 0^2 cdot 12 + 1^2 cdot 13 + 2^2 cdot 16
Calculando cada termo:
0^2 cdot 12 = 0
1^2 cdot 13 = 13
2^2 cdot 16 = 46 = 23
Somando:
E(X^2) = 0 + 13 + 23 = 1

Passo 6

Agora, usamos os valores encontrados para calcular a variância:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1 - (23)^2 = 1 - 49 = 59

Resposta

A esperança matemática é e a variância é .

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