Escreva a expressão e^3+7 pi i na forma retangular a+ib.

Passo 1

Estamos vendo um exercício que pede para escrever a expressão e^3 + 7pi i na forma retangular a + ib . Para resolver isso, vamos usar conceitos de números complexos e a fórmula de Euler, que relaciona exponenciais com funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar o expoente em duas partes usando a propriedade dos exponenciais:
e^3 + 7pi i = e^3 cdot e^7pi i

Passo 3

Agora, vamos focar na parte complexa e^7pi i . A fórmula de Euler nos diz que:
e^itheta = cos(theta) + isin(theta)
Aplicando isso, temos:
e^7pi i = cos(7pi) + isin(7pi)

Passo 4

Vamos calcular os valores de cos(7pi) e sin(7pi) :
cos(7pi) = cos(pi) = -1
sin(7pi) = sin(pi) = 0
Portanto,
e^7pi i = -1 + i cdot 0 = -1

Passo 5

Voltando à expressão original:
e^3 + 7pi i = e^3 cdot (-1) = -e^3

Resposta

A expressão e^3 + 7pi i na forma retangular é:
- e^3 + 0i

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