Sendo v=(1,-1,1), calcular o(s) vetor (es) u=(x, y, z) que satisfaça(m) as três condições seguintes:
(a) u seja ortogonal ao eixo x.
(b) u cdot v=0.
(c) |v times u|=3 raiz6.

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(1,-1,1) e pede um vetor u=(x,y,z) que satisfaça três condições: (i) u é perpendicular ao eixo x, (ii) ucdotv=0 e (iii) l|vtimesur|=3raiz6. Aqui vamos usar as definições de produto escalar para ortogonalidade e as fórmulas de produto vetorial e norma.

Passo 2

Ser ortogonal ao eixo x significa que u é perpendicular a (1,0,0). Assim,
ucdot(1,0,0)=xcdot1 + ycdot0 + zcdot0 = x = 0

Passo 3

A condição ucdotv=0
(0,y,z)cdot(1,-1,1)=0cdot1 + ycdot(-1) + zcdot1 = -y + z = 0 Longrightarrow z = y
Logo u=(0,y,y).

Passo 4

Vamos calcular vtimesu. Com v=(1,-1,1) e u=(0,y,y),
vtimesu =l(v2u3 - v3u2,;v3u1 - v1u3,;v1u2 - v2u1r) =(-1cdot y - 1cdot y,;1cdot0 - 1cdot y,;1cdot y - (-1)cdot0) =(-2y,,-y,,y)
A norma é
l|vtimesur| =raiz(-2y)^2 + (-y)^2 + (y)^2 =raiz4y^2 + y^2 + y^2 =raiz6y^2 =|y|raiz6
A condição |vtimesu|=3raiz6 implica
|y|raiz6 = 3raiz6 Longrightarrow |y| = 3

Passo 5

Temos y=pm3 e z=y, portanto as soluções são
u=(0,3,3) ou u=(0,-3,-3)

Resposta

u=(0,3,3) ou u=(0,-3,-3).

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