No triângulo de vértices e , calcular:
(a) A medida dos lados .
(b) A medida dos ângulos e .
(c) A área do triângulo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo cujos vértices em são
e precisamos calcular
(a) os comprimentos dos lados ,
(b) os ângulos ,
(c) a área do triângulo.
Para isso vamos usar a fórmula da distância no espaço para os lados, o produto escalar para os ângulos e o produto vetorial para a área.
Passo 2
Primeiro, determinamos os vetores que definem os lados e suas normas: , AC=C-A=(-3,-5,8), BC=C-B=(-6,-3,2).
As normas são
|AB|=raiz3^2+(-2)^2+6^2=raiz49=7,
|AC|=raiz(-3)^2+(-5)^2+8^2=raiz98=7raiz2,
|BC|=raiz(-6)^2+(-3)^2+2^2=raiz49=7
Pela convenção usual tomamos
a=|BC|=7, b=|AC|=7raiz2, c=|AB|=7
Passo 3
Para o ângulo em A usamos
coswidehat A =ABcdotAC |AB|;|AC| =3cdot(-3)+(-2)cdot(-5)+6cdot87cdot7raiz2 =4949raiz2 =1raiz2,
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widehat A = arccos!l(tfrac1raiz2r)=45^circ
Passo 4
Para o ângulo em B usamos vetores que partem de B: BA=-AB=(-3,2,-6) e BC=(-6,-3,2).
Então
coswidehat B =BAcdotBC |BA|;|BC| =(-3)(-6)+2(-3)+(-6),27cdot7 =049=0,
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widehat B = arccos(0)=90^circ
Passo 5
Finalmente, pelo fato da soma dos ângulos internos ser 180^circ,
widehat C = 180^circ - widehat A - widehat B =180^circ -45^circ -90^circ =45^circ
Passo 6
Para a área usamos
Área=12l|ABtimesACr| Á
Calculando o produto vetorial ABtimesAC=(14,-42,-21)
e sua norma |(14,-42,-21)|=raiz196+1764+441=raiz2401=49,
temos