No triângulo de vértices A=(0,0,2), B=(3,-2,8) e C=(-3,-5,10), calcular:
(a) A medida dos lados a, b, c.
(b) A medida dos ângulos widehatA, widehatB e widehatC.
(c) A área do triângulo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo cujos vértices em R^3 são
A=(0,0,2), B=(3,-2,8), C=(-3,-5,10),
e precisamos calcular
(a) os comprimentos dos lados a,b,c,
(b) os ângulos widehat A,widehat B,widehat C,
(c) a área do triângulo.
Para isso vamos usar a fórmula da distância no espaço para os lados, o produto escalar para os ângulos e o produto vetorial para a área.

Passo 2

Primeiro, determinamos os vetores que definem os lados e suas normas:
AB=B-A=(3,-2,6),
AC=C-A=(-3,-5,8),
BC=C-B=(-6,-3,2).
As normas são
|AB|=raiz3^2+(-2)^2+6^2=raiz49=7,
|AC|=raiz(-3)^2+(-5)^2+8^2=raiz98=7raiz2,
|BC|=raiz(-6)^2+(-3)^2+2^2=raiz49=7
Pela convenção usual tomamos
a=|BC|=7, b=|AC|=7raiz2, c=|AB|=7

Passo 3

Para o ângulo em A usamos
coswidehat A =ABcdotAC |AB|;|AC| =3cdot(-3)+(-2)cdot(-5)+6cdot87cdot7raiz2 =4949raiz2 =1raiz2,
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widehat A = arccos!l(tfrac1raiz2r)=45^circ

Passo 4

Para o ângulo em B usamos vetores que partem de B:
BA=-AB=(-3,2,-6) e BC=(-6,-3,2).
Então
coswidehat B =BAcdotBC |BA|;|BC| =(-3)(-6)+2(-3)+(-6),27cdot7 =049=0,
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widehat B = arccos(0)=90^circ

Passo 5

Finalmente, pelo fato da soma dos ângulos internos ser 180^circ,
widehat C = 180^circ - widehat A - widehat B =180^circ -45^circ -90^circ =45^circ

Passo 6

Para a área usamos
Área=12l|ABtimesACr| Á
Calculando o produto vetorial
ABtimesAC=(14,-42,-21)
e sua norma
|(14,-42,-21)|=raiz196+1764+441=raiz2401=49,
temos
Área=12cdot49=492 Á

Resposta

(a) a=7, b=7raiz2, c=7.
(b) widehat A=45^circ, widehat B=90^circ, widehat C=45^circ.
(c) Área=tfrac492Á

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