Escreva a expressão de uma função quadrática f tal que a parábola y=f(x) passe pelos pontos dados:
(raiz7, 1),(2, raiz5),(7,-3)

Passo 1

Queremos achar uma função quadrática
f(x)=ax^2+bx+c
que passe por (x1,y1)=(raiz7,1), (x2,y2)=(2,raiz5) e (x3,y3)=(7,-3).
Uma maneira direta é usar a fórmula de interpolação de Lagrange para polinômios de grau 2.

Passo 2

Definimos os três polinômios-base de Lagrange
ell1(x)=(x-x2)(x-x3)(x1-x2)(x1-x3), ell2(x)=(x-x1)(x-x3)(x2-x1)(x2-x3), ell3(x)=(x-x1)(x-x2)(x3-x1)(x3-x2)

Passo 3

A interpolação de Lagrange diz que
f(x)=y1,ell1(x)+y2,ell2(x)+y3,ell3(x)
Substituindo x1=raiz7, x2=2, x3=7 e y1=1, y2=raiz5, y3=-3, obtemos
ell1(x)=(x-2)(x-7)(raiz7-2)(raiz7-7), ell2(x)=(x-raiz7)(x-7)(2-raiz7)(2-7), ell3(x)=(x-raiz7)(x-2)(7-raiz7)(7-2)

Passo 4

Logo
f(x) =1cdot(x-2)(x-7)(raiz7-2)(raiz7-7) +raiz5cdot(x-raiz7)(x-7)(2-raiz7)(2-7) -3cdot(x-raiz7)(x-2)(7-raiz7)(7-2)

Resposta

boxed f(x) =(x-2)(x-7)(raiz7-2)(raiz7-7) +raiz5,(x-raiz7)(x-7)(2-raiz7)(2-7) -3,(x-raiz7)(x-2)(7-raiz7)(7-2)

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