1. (a) Escreva uma expressão para a série de Taylor de n-ésimo grau de f centrada em a.
    (b) Escreva uma expressão para a série de Taylor de f centrada em a.
    (c) Escreva uma expressão para a série de Maclaurin de f.
    (d) Como você mostra que f(x) é igual à soma de sua série de Taylor?
    (e) Enuncie a Desigualdade de Taylor.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente, em sequência, as fórmulas para
(a) o polinômio de Taylor de grau n de uma função f centrado em a,
(b) a série de Taylor infinita de f em torno de a,
(c) a série de Maclaurin (caso especial a=0),
(d) o critério para mostrar que f(x) coincide com sua série de Taylor (ou seja, f(x)=sumk=0^inftyldots) e
(e) a desigualdade de Taylor que dá um limite para o resto.
Vamos usar o desenvolvimento em série de potências e a forma de Lagrange para o resto.

Passo 2

Para (a), o polinômio de Taylor de grau n de f centrado em a é obtido aproximando f pelas suas derivadas até ordem n. O resultado é
Tn(x) ;=;sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x - a)^k

Passo 3

Para (b), a série de Taylor de f em torno de a é simplesmente a extensão de Tn(x) para ntoinfty, ou seja
sumk=0^inftyf^(k)(a)k!,(x - a)^k

Passo 4

Para (c), a série de Maclaurin é o caso particular de (b) com a=0. Logo
sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k

Passo 5

Para (d), usamos a forma de Lagrange do resto Rn(x), que diz que existe xi entre a e x tal que
Rn(x) =f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x - a)^n+1
Se conseguirmos mostrar que limntoinftyRn(x)=0 para todo x num certo intervalo, então
f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(a)k!,(x - a)^k

Passo 6

Para (e), a Desigualdade de Taylor fornece um limite prático para l|Rn(x)r|. Se l|f^(n+1)(t)r|<= M para todo t entre a e x, então
l|Rn(x)r| <= M(n+1)!,l|x - ar|^n+1

Resposta

(a) Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x - a)^k
(b) sumk=0^inftyf^(k)(a)k!,(x - a)^k
(c) sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k
(d) Usando o resto de Lagrange
Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-a)^n+1
e mostrando que limntoinftyRn(x)=0.
(e) Se l|f^(n+1)(t)r|<= M num intervalo que contenha a e x, então
l|Rn(x)r|<=M(n+1)!,l|x-ar|^n+1

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