(a) Escreva uma expressão para a série de Taylor de -ésimo grau de centrada em .
(b) Escreva uma expressão para a série de Taylor de centrada em .
(c) Escreva uma expressão para a série de Maclaurin de .
(d) Como você mostra que é igual à soma de sua série de Taylor?
(e) Enuncie a Desigualdade de Taylor.
Passo 1
O enunciado pede que a gente apresente, em sequência, as fórmulas para
(a) o polinômio de Taylor de grau de uma função centrado em ,
(b) a série de Taylor infinita de em torno de ,
(c) a série de Maclaurin (caso especial ),
(d) o critério para mostrar que coincide com sua série de Taylor (ou seja, ) e
(e) a desigualdade de Taylor que dá um limite para o resto.
Vamos usar o desenvolvimento em série de potências e a forma de Lagrange para o resto.
Passo 2
Para (a), o polinômio de Taylor de grau de centrado em é obtido aproximando pelas suas derivadas até ordem . O resultado é
Passo 3
Para (b), a série de Taylor de em torno de é simplesmente a extensão de para , ou seja
Passo 4
Para (c), a série de Maclaurin é o caso particular de (b) com . Logo
Passo 5
Para (d), usamos a forma de Lagrange do resto , que diz que existe entre e tal que
Se conseguirmos mostrar que para todo num certo intervalo, então
Passo 6
Para (e), a Desigualdade de Taylor fornece um limite prático para . Se l|f^(n+1)(t)r|<= M para todo t entre a e x, então
l|Rn(x)r| <= M(n+1)!,l|x - ar|^n+1
Resposta
(a) Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!,(x - a)^k
(b) sumk=0^inftyf^(k)(a)k!,(x - a)^k
(c) sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k
(d) Usando o resto de Lagrange Rn(x)=f^(n+1)(xi)(n+1)!(x-a)^n+1
e mostrando que limntoinftyRn(x)=0.
(e) Se l|f^(n+1)(t)r|<= M num intervalo que contenha a e x, então