Questão 4 - Um fluido inicialmente a 130^circ C é colocado ao ar livre em um dia em que a temperatura é -10^circ C, e a temperatura do fluido cai 40^circ C em um minuto. T(t) a temperatura, em Celsius, no tempo t, em minutos.
(a) Encontre a temperatura T(t) do fluido para t>0.
(b) Encontre a temperatura do fluido 15 minutos após ser colocado ao ar livre.

Passo 1

O enunciado trata da lei de resfriamento de Newton: a temperatura T(t) de um fluido varia segundo
dTdt = -kl(T(t)-Tar),
onde Ta é a temperatura ambiente. Aqui Ta=-10^circC, T(0)=130^circC e sabe-se que em t=1 minuto a temperatura cai 40^circC, ou seja T(1)=90^circC. Precisamos achar (a) a função T(t) e (b) o valor de T(15).

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação diferencial por separação de variáveis. Escrevendo
dTdt = -kl(T-(-10)r)
temos solução geral
T(t) = Ta + C,e^-k t
Usando T(0)=130
130 = -10 + CLongrightarrow C = 140
Logo
T(t) = -10 + 140,e^-k t

Passo 3

Para determinar k usamos T(1)=90:
90 = -10 + 140,e^-kLongrightarrow 140,e^-k = 100Longrightarrow e^-k = 57
Daí
k = -ln!l(57r) = ln!l(75r),
e substituindo em T(t) obtemos
boxedT(t) = -10 + 140l(tfrac57r)^t

Passo 4

Para t=15 minutos basta avaliar
T(15) = -10 + 140l(tfrac57r)^15
Numericamente, l(tfrac57r)^15approx0,00641, logo
T(15)approx -10 + 140cdot0,00641 approx -9,10^circC

Resposta

(a) T(t) = -10 + 140l(tfrac57r)^t
(b) T(15)approx -9,10^circC

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