Questão 6 - Encontre a solução para a seguinte equação diferencial:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dvdt = 9.8 - 0.196,v
Este é um caso clássico de EDO linear com coeficiente constante. Vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
dvdt + 0.196,v = 9.8,
onde identificamos p(t)=0.196 e q(t)=9.8.

Passo 3

O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = e^integral 0.196,dt = e^0.196,t

Passo 4

Multiplicando a equação por mu(t) obtemos
e^0.196 tdvdt + 0.196,e^0.196 tv = 9.8,e^0.196 t
O lado esquerdo é exatamente a derivada de produto:
ddtl(e^0.196 tvr) = 9.8,e^0.196 t

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em t:
integral ddtl(e^0.196 tvr),dt = integral 9.8,e^0.196 t,dt ;Longrightarrow; e^0.196 tv = 9.80.196,e^0.196 t + C

Passo 6

Finalmente isolamos v(t):
v(t) = 9.80.196 + C,e^-0.196 t = 50 + C,e^-0.196 t
Se tivermos a condição inicial v(0)=v0, basta usar C=v0-50.

Resposta

A solução geral é
v(t) = 50 + C,e^-0.196 t,
sendo C uma constante determinada pela condição inicial.

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