Escreva as expressões gerais para os campos elétrico e magnético de uma onda plana cossenoidal de 1 GHz que se propaga na direção positiva de y em um meio nãomagnético sem perdas com permissividade relativa varepsilonr=9. O campo elétrico está polarizado ao longo da direção x, seu valor de pico é 3 V / m e a intensidade de campo é 2 V / m em t=0 e y=2 cm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrevermos as expressões gerais dos campos elétrico e magnético de uma onda plana cossenoidal com frequência de 1 GHz que se propaga na direção positiva de y. Estamos lidando com um meio não magnético (ou seja, com permeabilidade relativa mur = 1) e sem perdas, com uma permissividade relativa varepsilonr = 9. Além disso, o campo elétrico está polarizado na direção x, tem um valor de pico de 3, V/m e, num ponto específico (t=0 e y=2 cm), o valor da intensidade do campo elétrico é 2, V/m. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das ondas eletromagnéticas no espaço livre e como elas se comportam em meios materiais, além de como relacionar os campos elétrico e magnético.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a natureza da onda eletromagnética. Uma onda plana cossenoidal pode ser descrita pelas funções seno ou cosseno que variam no espaço e no tempo. A forma geral de uma onda eletromagnética que se propaga na direção y é dada por:
E(y, t) = E0 cos(omega t - k y) x
B(y, t) = B0 cos(omega t - k y) z
Aqui, E0 é a amplitude do campo elétrico, B0 é a amplitude do campo magnético, omega é a frequência angular, k é o número de onda, e x, z são os vetores unitários nas direções x e z, respectivamente.

Passo 3

Vamos determinar a frequência angular omega. Sabemos que a frequência f é 1 GHz, ou seja, f = 1 times 10^9, Hz. A frequência angular é relacionada à frequência por:
omega = 2pi f
Substituindo:
omega = 2pi times 1 times 10^9, rad/s = 2pi times 10^9, rad/s

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o número de onda k. Primeiro, calculamos a velocidade de propagação da onda no meio. A velocidade da luz no vácuo é c = 3 times 10^8, m/s. Em um meio com permissividade relativa varepsilonr e permeabilidade relativa mur = 1, a velocidade v é:
v = craizvarepsilonr mur = 3 times 10^8raiz9 times 1 = 3 times 10^83 = 1 times 10^8, m/s
Agora, o número de onda é:
k = omegav
Substituindo omega e v:
k = 2pi times 10^91 times 10^8 = 20pi, rad/m

Passo 5

Sabemos também que a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no meio é dada por:
B0 = E0v
Dado que o valor de pico do campo elétrico E0 é 3, V/m e v = 1 times 10^8, m/s, temos:
B0 = 31 times 10^8 = 3 times 10^-8, T

Passo 6

Agora, podemos escrever as expressões gerais para os campos elétrico e magnético:
E(y, t) = 3, V/m cdot cos(2pi times 10^9 t - 20pi y) x
B(y, t) = 3 times 10^-8, T cdot cos(2pi times 10^9 t - 20pi y) z

Resposta

As expressões gerais para os campos elétrico e magnético são:
E(y, t) = 3, V/m cdot cos(2pi times 10^9 t - 20pi y) x
B(y, t) = 3 times 10^-8, T cdot cos(2pi times 10^9 t - 20pi y) z

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