Escreva a forma de decomposição em frações parciais da função (como no Exemplo 7). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.
x^4+x^3-x^2-x+1x^3-x

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional x^4 + x^3 - x^2 - x + 1x^3 - x. Para isso, vamos usar divisão polinomial para separar a parte polinomial da parte própria e, em seguida, fatorar o denominador em fatores lineares distintos.

Passo 2

Como o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), fazemos divisão polinomial de x^4 + x^3 - x^2 - x + 1 por x^3 - x. O quociente é x + 1 e o resto é 1, logo temos x^4 + x^3 - x^2 - x + 1x^3 - x = x + 1 + 1x^3 - x.

Passo 3

Fatoramos agora o denominador do termo próprio: x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1). Assim, a parte 1x^3 - x pode ser escrita como soma de frações com denominadores lineares.

Passo 4

Montamos a forma geral da decomposição em frações parciais para a parte própria:
1x(x - 1)(x + 1) = Ax + Bx - 1 + Cx + 1

Passo 5

Juntando a parte polinomial e a decomposição das frações próprias, a forma final da decomposição é x + 1 + Ax + Bx - 1 + Cx + 1.

Resposta

x + 1 + Ax + Bx - 1 + Cx + 1

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