Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-5 x+6}= \square

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a função
f(x)=\frac{x-4}{x^{2}-5x+6}
na forma de frações parciais — ou seja, reescrever f(x) como soma de frações simples cujo denominador seja um dos fatores de x^{2}-5x+6. Informações dadas e observações úteis do enunciado:
  • A expressão original é \dfrac{x-4}{x^{2}-5x+6}.
  • O numerador tem grau menor que o denominador (isso significa que já é uma fração própria — ótima notícia: podemos decompor diretamente).
  • O polinômio do denominador fatoriza (vou anotar a fatoração como informação do enunciado):
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 2

Explicando a ideia de frações parciais de forma simples: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, como (x-2)(x-3), podemos escrever a função racional como soma de frações cujo denominador é cada fator linear. Ou seja, procuramos constantes A e B tais que
\frac{x-4}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Por que isso funciona? Porque a soma do lado direito, reduzida ao mesmo denominador (x-2)(x-3), produz um numerador linear em x; com duas constantes A e B conseguimos ajustar os coeficientes desse numerador para que a igualdade seja verdadeira para todo x (exceto x=2,3, onde a expressão original é indefinida). Essa igualdade é uma identidade entre polinômios.

Passo 3

Vamos transformar a equação acima numa identidade polinomial e eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3). Obtemos
x-4 = A(x-3) + B(x-2).
Isto deve valer para todo x. Agora temos uma equação entre polinômios de primeiro grau; podemos determinar A e B de formas simples (vou mostrar a forma mais direta e intuitiva).

Passo 4

Método rápido: avaliar a identidade nos zeros dos fatores do denominador (esses valores anulam um dos termos do lado direito, permitindo achar imediatamente a outra constante).
  • Se x=2 (veio do fator x-2), substituindo em x-4 = A(x-3)+B(x-2)
2-4 = A(2-3) + B(2-2).
Isso é
-2 = A(-1) + B\cdot 0,
logo
A = 2.
  • Se x=3 (veio do fator x-3), substituindo:
3-4 = A(3-3) + B(3-2).
Isso é
-1 = A\cdot 0 + B(1),
logo
B = -1.
Achamos A=2 e B=-1.

Passo 5

(Aula rápida sobre verificação e alternativa) Podemos verificar também por comparação de coeficientes: expandindo A(x-3)+B(x-2) = (A+B)x + (-3A-2B)\). Igualando aos coeficientes de \(x-4\), obtemos o sistema \[\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] -3A-2B = -4. \end{cases}
Resolvendo esse sistema (por substituição, por exemplo) dá A=2\] e \(B=-1, mesmo resultado. Para ter certeza final, recombinamos as frações:
\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}=\frac{2(x-3)-(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{2x-6-x+2}{(x-2)(x-3)}=\frac{x-4}{(x-2)(x-3)},
que é exatamente f(x). Tudo bate certinho.]

Resposta

\displaystyle \frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-3}

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