Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a função
na forma de frações parciais — ou seja, reescrever
como soma de frações simples cujo denominador seja um dos fatores de
. Informações dadas e observações úteis do enunciado:
- A expressão original é
. - O numerador tem grau menor que o denominador (isso significa que já é uma fração própria — ótima notícia: podemos decompor diretamente).
- O polinômio do denominador fatoriza (vou anotar a fatoração como informação do enunciado):
Passo 2
Explicando a ideia de frações parciais de forma simples: quando o denominador se fatoriza em fatores lineares distintos, como
, podemos escrever a função racional como soma de frações cujo denominador é cada fator linear. Ou seja, procuramos constantes
e
tais que
Por que isso funciona? Porque a soma do lado direito, reduzida ao mesmo denominador
, produz um numerador linear em
; com duas constantes
e
conseguimos ajustar os coeficientes desse numerador para que a igualdade seja verdadeira para todo
(exceto
, onde a expressão original é indefinida). Essa igualdade é uma identidade entre polinômios.
Passo 3
Vamos transformar a equação acima numa identidade polinomial e eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por
. Obtemos
Isto deve valer para todo
. Agora temos uma equação entre polinômios de primeiro grau; podemos determinar
e
de formas simples (vou mostrar a forma mais direta e intuitiva).
Passo 4
Método rápido: avaliar a identidade nos zeros dos fatores do denominador (esses valores anulam um dos termos do lado direito, permitindo achar imediatamente a outra constante).
- Se
(veio do fator ), substituindo em dá
Isso é
logo
- Se
(veio do fator ), substituindo:
Isso é
logo
Achamos
e
.
Passo 5
(Aula rápida sobre verificação e alternativa) Podemos verificar também por comparação de coeficientes: expandindo
Resolvendo esse sistema (por substituição, por exemplo) dá
, mesmo resultado. Para ter certeza final, recombinamos as frações:
que é exatamente
. Tudo bate certinho.]