Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores. f(x)=\frac{x^{2}}{(x+2)^{3}}=\square
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o exercício pede e o que ele dá. O enunciado pede que a gente escreva na forma de frações parciais a função
f(x)=\frac{x^{2}}{(x+2)^{3}}
ou seja, devemos transformar essa fração racional numa soma de frações mais simples, com denominadores que são potências de (x+2). Informação importante dada: o denominador é (x+2)^{3}, que é um fator linear repetido três vezes, e o numerador é um polinômio de grau 2, menor que o grau do denominador (3), então a fração já é própria (não precisa fazer divisão algébrica).
Passo 2
Explico a forma geral usada quando o denominador tem um fator linear repetido. Se temos um denominador (x-a)^{n}, a decomposição em frações parciais tem a forma
onde A_{1},A_{2},\dots,A_{n} são constantes a determinar. Aqui cada termo corresponde a uma potência do fator repetido. No nosso caso a=-2 e n=3, então a forma a usar é
onde A, B e C são constantes numéricas que vamos calcular.
Passo 3
Eliminação dos denominadores: multiplico ambos os lados por (x+2)^{3} para ficar com uma igualdade entre polinômios (isso evita frações e facilita comparar coeficientes). Temos
x^{2}=A(x+2)^{2}+B(x+2)+C.
Essa é uma identidade polinomial válida para todo x. A vantagem é que agora podemos comparar coeficientes de potências de x em ambos os lados ou avaliar em valores convenientes de x para achar A,B,C.
Passo 4
Método rápido: avalio a identidade em x=-2 (porque aí muitos termos se anulam). Substituindo x=-2 em
x^{2}=A(x+2)^{2}+B(x+2)+C
obtemos
(-2)^{2}=A\cdot 0^{2}+B\cdot 0 + C \quad\Rightarrow\quad 4=C.
Então já temos C=4.
Passo 5
Agora expando o lado direito para comparar coeficientes ou terminar de achar A e B. Expansão:
A(x+2)^{2}+B(x+2)+C = A(x^{2}+4x+4)+B x + 2B + C.
Agrupando termos em potências de x:
= A x^{2} + (4A+B)\,x + (4A+2B+C).
A igualdade com o lado esquerdo x^{2} (que é 1\cdot x^{2}+0\cdot x + 0) implica comparar coeficientes nas potências x^{2}, x e termo constante:
\begin{cases} \text{coef. de }x^{2}: & A = 1,\\[4pt] \text{coef. de }x: & 4A + B = 0,\\[4pt] \text{constante:} & 4A + 2B + C = 0. \end{cases}]
Passo 6
Resolvo o sistema. Da primeira equação vem diretamente
A=1.
Com A=1, a segunda equação dá
4\cdot 1 + B = 0 \quad\Rightarrow\quad B = -4.
Verificação da terceira equação usando A=1 e B=-4:
4\cdot 1 + 2(-4) + C = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 -8 + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = 4,
o que coincide com o valor que achamos no Passo 4. Portanto os coeficientes são A=1, B=-4, C=4.
Passo 7
Escrevo a decomposição final substituindo os valores encontrados:
Pequena dica de prova: se você somar essas três frações obtém novamente \dfrac{x^{2}}{(x+2)^{3}}; essa verificação é feita multiplicando tudo por (x+2)^{3} e checando a identidade polinomial que já montamos.