Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}= \square

Passo 1

O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais de
f(x)=\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}
e calcular numericamente os coeficientes dessa decomposição.
Informações dadas: o numerador é x^{2}+x+1 e o denominador fatorado é (x+1)^{2}(x+2). A tarefa é encontrar constantes (números) que fazem a igualdade em todos os x.

Passo 2

Qual forma devemos usar para a decomposição? Quando o denominador tem fatores lineares e um deles aparece com multiplicidade 2 (aqui (x+1)^{2}), a forma geral de frações parciais é:
\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}+\frac{C}{x+2},
onde A, B e C são constantes desconhecidas a determinar.
Explicação rápida do porquê: para um fator linear (x+r) repetido k vezes, precisamos de termos \dfrac{\text{const}}{x+r},\dfrac{\text{const}}{(x+r)^{2}},\dots,\dfrac{\text{const}}{(x+r)^{k}}. Aqui k=2 para x+1.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da igualdade por (x+1)^{2}(x+2) para eliminar denominadores. Isso nos dá uma identidade polinomial válida para todo x:
x^{2}+x+1 = A(x+1)(x+2) + B(x+2) + C(x+1)^{2}.
Agora vamos encontrar A, B e C.

Passo 4

Usamos valores de x que anulem termos para obter equações simples (método direto — aproveitando raízes dos fatores do denominador).
Tomando x=-2 (anula (x+2)):
Na esquerda:
(-2)^{2}+(-2)+1 = 4-2+1 = 3.
Na direita, com x=-2:
A\cdot 0 + B\cdot 0 + C(-2+1)^{2} = C\cdot (-1)^{2} = C.
Logo C=3.

Passo 5

Tomando x=-1 (anula (x+1)):
Na esquerda:
(-1)^{2}+(-1)+1 = 1-1+1 = 1.
Na direita, com x=-1:
A\cdot 0 + B(-1+2) + C\cdot 0 = B\cdot 1 = B.
Logo B=1.

Passo 6

Agora já temos B e C. Para achar A podemos usar um valor conveniente de x que não anule tudo — por exemplo x=0.
Com x=0, na esquerda:
0^{2}+0+1 = 1.
Na direita, usando B=1 e C=3:
A(0+1)(0+2) + B(0+2) + C(0+1)^{2} = A\cdot 2 + 1\cdot 2 + 3\cdot 1 = 2A + 2 + 3 = 2A + 5.
Portanto
1 = 2A + 5 \quad\Rightarrow\quad 2A = -4 \quad\Rightarrow\quad A = -2.

Passo 7

Fazendo um mini-cheque (opcional mas bom para confiança): expandindo a expressão direita com A=-2, B=1, C=3 deve voltar x^{2}+x+1.
Calculamos rapidamente:
A(x+1)(x+2) = -2(x^{2}+3x+2) = -2x^{2}-6x-4,
B(x+2) = 1(x+2) = x+2,
C(x+1)^{2} = 3(x^{2}+2x+1) = 3x^{2}+6x+3.
Somando: (-2x^{2}-6x-4)+(x+2)+(3x^{2}+6x+3) = (-2x^{2}+3x^{2}) + (-6x+x+6x) + (-4+2+3)
= x^{2} + x + 1,
confirma a identidade.

Resposta

\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}=\frac{-2}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{3}{x+2}

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