Escreva a forma decomposta em frações parciais as funções a seguir, e calcule os valores numéricos dos coeficientes, expressando-as com esses valores.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a forma decomposta em frações parciais de
e calcular numericamente os coeficientes dessa decomposição.
Informações dadas: o numerador é e o denominador fatorado é
. A tarefa é encontrar constantes (números) que fazem a igualdade em todos os
.
Informações dadas: o numerador é
Passo 2
Qual forma devemos usar para a decomposição? Quando o denominador tem fatores lineares e um deles aparece com multiplicidade
(aqui
), a forma geral de frações parciais é:
onde
,
e
são constantes desconhecidas a determinar.
Explicação rápida do porquê: para um fator linear repetido
vezes, precisamos de termos
. Aqui
para
.
Explicação rápida do porquê: para um fator linear
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da igualdade por
para eliminar denominadores. Isso nos dá uma identidade polinomial válida para todo
:
Agora vamos encontrar
,
e
.
Passo 4
Usamos valores de
que anulem termos para obter equações simples (método direto — aproveitando raízes dos fatores do denominador).
Tomando
(anula
):
Na esquerda:
Na esquerda:
Na direita, com
:
Logo
.
Passo 5
Tomando
(anula
):
Na esquerda:
Na esquerda:
Na direita, com
:
Logo
.
Passo 6
Agora já temos
e
. Para achar
podemos usar um valor conveniente de
que não anule tudo — por exemplo
.
Com
, na esquerda:
Na direita, usando
e
:
Portanto
Passo 7
Fazendo um mini-cheque (opcional mas bom para confiança): expandindo a expressão direita com
,
,
deve voltar
.
Calculamos rapidamente:
Somando:
confirma a identidade.