Escreva F(x) na forma f(g(x)) e encontre sua derivada.
6) F(x)=sen(e^x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para reescrever a função F(x) = sin(e^x) na forma composta f(g(x)) e depois encontrar a derivada dela. Vamos usar os conceitos de funções compostas e derivadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são as funções f e g que compõem F(x) . Observando F(x) = sin(e^x) , a gente vê que:
  • g(x) = e^x é a função dentro do seno.
  • f(u) = sin(u) é a função seno aplicada a g(x) .

Passo 3

Agora que temos f e g , vamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada de F(x) . A regra da cadeia diz que se F(x) = f(g(x)) , então:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x)

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções f e g :
  • Derivada de f(u) = sin(u) é f'(u) = cos(u) .
  • Derivada de g(x) = e^x é g'(x) = e^x .

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = cos(e^x) cdot e^x

Resposta

A derivada de F(x) = sin(e^x) é F'(x) = e^x cos(e^x) .

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