Represente graficamente os conjuntos dados abaixo e classique-os em aberto, fechado, limitado.
\operatorname{Re}\left(\frac{1}{z}\right)<\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos z\in\mathbb{C} (com z\neq0) tais que
\Re\!\bigl(\tfrac{1}{z}\bigr)<\tfrac{1}{4}.
Vamos escrever z=x+iy e traduzir essa desigualdade no plano xy.

Passo 2

Para z=x+iy temos
\frac{1}{z}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}
e, portanto,
\Re\!\Bigl(\tfrac{1}{z}\Bigr)=\frac{x}{x^2+y^2}.
A desigualdade fica
\frac{x}{x^2+y^2}<\frac{1}{4}.

Passo 3

Como x^2+y^2>0, multiplicamos ambos os lados por x^2+y^2 sem inverter o sinal:
x<\frac{x^2+y^2}{4} \;\Longrightarrow\; 4x<x^2+y^2 \;\Longrightarrow\; x^2-4x+y^2>0.
Completando o quadrado em x:
(x-2)^2+y^2>4.

Passo 4

A inequação (x-2)^2+y^2>4 descreve o exterior do círculo de centro (2,0) e raio 2, sem incluir a fronteira (pois é estrita “ >”). Graficamente, representa-se o círculo tracejado e sombreia-se a região de fora dele.

Passo 5

Topologicamente o conjunto é
• aberto (a desigualdade é estrita),
• não fechado (a fronteira não está incluída),
• não limitado (é a parte exterior ao círculo, vai até o infinito).

Resposta

O conjunto é o exterior do círculo de centro (2,0) e raio 2, sem incluir a fronteira. Classificação: aberto, não fechado, não limitado.

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