Escreva na forma reduzida cada uma das superficies quádricas e identifique-as.
6 x^{2}-4 y^{2}+3 z^{2}-12=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas
6x^{2}-4y^{2}+3z^{2}-12=0
e pede para escrevê-la na forma reduzida (canônica) e identificar qual tipo de superfície é.

Passo 2

Isolamos os termos quadráticos num lado e o número no outro:
6x^{2}+3z^{2}-4y^{2}=12.

Passo 3

Dividimos toda a equação por 12 para obter o lado direito igual a 1:
\frac{6x^{2}}{12}+\frac{3z^{2}}{12}-\frac{4y^{2}}{12}=1
e simplificamos cada fração:
\frac{x^{2}}{2}+\frac{z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1.

Passo 4

Na forma
\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1
temos dois termos positivos e um negativo igual a 1. Isso caracteriza um hiperbolóide de uma folha, cujo eixo principal é o eixo associado ao termo com coeficiente negativo (aqui o eixo y).

Resposta

\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1,
que é um hiperbolóide de uma folha de eixo no eixo y.

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