Para A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right], encontre um autovalor sem fazer qual. quer cálculo. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
e pede que a gente estime um autovalor sem fazer contas diretas. O conteúdo aqui é autovalores de matrizes singulars, explorando posto e determinante.

Passo 2

Perceba que todas as linhas de A são idênticas, ou seja \text{linha}_1=\text{linha}_2=\text{linha}_3.
Isso implica que as linhas são linearmente dependentes, logo \mathrm{rank}(A)=1<3.
Com posto menor que a ordem, \det(A)=0 e A é singular.

Passo 3

Uma matriz singular tem 0 como autovalor. Além disso, pelo Teorema do Núcleo-Imagem, \dim\ker(A)=3-\mathrm{rank}(A)=2,
o que confirma que 0 é autovalor de multiplicidade geométrica 2.

Resposta

0

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