Prove os seguintes teoremas:
, se
então
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos
Estamos diante de uma desigualdade válida apenas para
. Podemos combinar duas ideias: estudar a expressão
e verificar separadamente os casos pequenos
.
Passo 2
Definimos
Como o coeficiente de
é
, esse polinômio é concavo para baixo, com vértice em
Logo, para
,
é estritamente decrescente.
Passo 3
Em particular, para
e
temos
Como
é decrescente em
, segue que
isto é,
para
.
Passo 4
Faltam os três casos iniciais:
- Para
: - Para
: - Para
:
Resposta
Assim, em todos os casos
temos
. Portanto