Prove os seguintes teoremas:
\forall n \in \mathbb{N}, se n \leq 5 então n^{2} \leq 5 n+10.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos
\forall n \in \mathbb{N},\;n \le 5 \implies n^2 \le 5n + 10.
Estamos diante de uma desigualdade válida apenas para n=0,1,2,3,4,5. Podemos combinar duas ideias: estudar a expressão
f(n) = 5n + 10 - n^2
e verificar separadamente os casos pequenos n=0,1,2.

Passo 2

Definimos
f(n) = 5n + 10 - n^2.
Como o coeficiente de n^2 é -1, esse polinômio é concavo para baixo, com vértice em
n = -\frac{(-1)\cdot5}{2\cdot(-1)} = \frac{5}{2}.
Logo, para n\ge3, f(n) é estritamente decrescente.

Passo 3

Em particular, para n=3 e n=5 temos
f(3) = 5\cdot3 + 10 - 3^2 = 15 + 10 - 9 = 16 > 0,
f(5) = 5\cdot5 + 10 - 5^2 = 25 + 10 - 25 = 10 > 0.
Como f é decrescente em [3,5], segue que
f(n) > 0 \quad\text{para todo }n\in\{3,4,5\},
isto é, n^2 \le 5n + 10 para n=3,4,5.

Passo 4

Faltam os três casos iniciais:
  • Para n=0: 0^2 = 0 \le 5\cdot0 + 10 = 10.
  • Para n=1: 1^2 = 1 \le 5\cdot1 + 10 = 15.
  • Para n=2: 2^2 = 4 \le 5\cdot2 + 10 = 20.

Resposta

Assim, em todos os casos n=0,1,2,3,4,5 temos n^2 \le 5n + 10. Portanto
\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\;n \le 5 \implies n^2 \le 5n + 10.}

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