Escreva na forma reduzida cada uma das superficies quádricas e identifique-as.
-2 x^{2}+3 y^{2}+30 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
-2 x^2 + 3 y^2 + 30 z = 0.
O objetivo é escrever essa equação na forma reduzida canônica, isolando z, e depois identificar o tipo de superfície a partir dos sinais dos termos quadráticos.

Passo 2

Isolamos z passando os termos em x^2 e y^2 para o outro lado:
30\,z = 2\,x^2 - 3\,y^2.

Passo 3

Dividimos ambos os lados por 30 para obter a equação em função de z:
z = \frac{2}{30}\,x^2 - \frac{3}{30}\,y^2 = \frac{x^2}{15} - \frac{y^2}{10}.

Passo 4

Comparando com a forma-padrão de um paraboloide hiperbólico,
z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2},
vemos que aqui a^2 = 15 e b^2 = 10. Logo, a superfície é um paraboloide hiperbólico.

Resposta

A forma reduzida é
z = \frac{x^2}{15} - \frac{y^2}{10},
e trata-se de um paraboloide hiperbólico.

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