Escreva na forma reduzida cada uma das superficies quádricas e identifique-as.
2 x^{2}+3 y^{2}-6=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície quádricas em \mathbb{R}^3 2x^{2} + 3y^{2} - 6 = 0
e pede para escrevê-la na forma reduzida e identificar qual tipo de superfície ela representa.

Passo 2

Como não aparece z na equação, sabemos que a superfície é um cilindro cujas geratrizes são paralelas ao eixo z. Para obter a forma reduzida, isolamos o termo constante e dividimos ambos os lados por 6:
2x^{2} + 3y^{2} = 6
\frac{2x^{2}}{6} + \frac{3y^{2}}{6} = 1
\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1

Passo 3

A equação
\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1
é a forma reduzida de um cilindro elíptico, pois em cada plano paralelo ao plano xy (isto é, para z fixo) a seção é uma elipse.

Resposta

A forma reduzida é
\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1
e a superfície é um cilindro elíptico de eixo paralelo a z.

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