Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(b) (1+i raiz3)^-10;

Passo 1

O enunciado pede para escrever
z = (1 + iraiz3)^-10
na forma trigonométrica e representar geometricamente. O conteúdo principal é a conversão de um número complexo para a forma r(costheta + isintheta) e o uso do Teorema de De Moivre para potência.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de
w = 1 + iraiz3
O módulo é
r = |w| = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = 2
O argumento theta satisfaz
costheta = 12, sintheta = raiz32,
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theta = pi3

Passo 3

Expressão trigonométrica de w:
w = 2l(costfracpi3 + isintfracpi3r)

Passo 4

Aplicar o Teorema de De Moivre para potência -10:
w^-10 = 2^-10l(cosl(-10cdottfracpi3r) + isinl(-10cdottfracpi3r)r)

Passo 5

Simplificar raio e argumento:
2^-10 = 11024,
e
-10cdottfracpi3 = -tfrac10pi3 equiv tfrac2pi3pmod2pi
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z = w^-10 = 11024l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r)

Passo 6

Para representar geometricamente, note que z tem módulo tfrac11024 e argumento tfrac2pi3 (ou 120^circ). Em coordenadas cartesianas:
z = 11024l(-tfrac12 + itfracraiz32r) = -12048 + i,raiz32048
O ponto correspondente está muito próximo da origem, no segundo quadrante, formando 120^circ com o eixo real positivo.

Resposta

z = (1 + iraiz3)^-10 = 11024l(costfrac2pi3 + isintfrac2pi3r),
e geometricamente é o ponto de módulo tfrac11024 e argumento tfrac2pi3 no plano de Argand.

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