Se C é o segmento de reta ligando o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2) mostre que
integralC x d y-y d x=x1 y2-x2 y1
Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são (x1, y1),(x2, y2), cdots,(xn, yn) mostre que a área do polígono é
A=12[(x1 y2-x2 y1)+(x2 y3-x3 y2)+cdots+(xn-1 yn-xn yn-1)]
Calcule a área do pentágono com vértices (0,0),(2,1),(1,3),(0,2) e (-1,1).

Passo 1

O enunciado pede três coisas. Primeiro, mostrar que, para o segmento C de l(x1,y1r) a l(x2,y2r),
integralC x,dy - y,dx ;=; x1y2-x2y1
Depois, usando esse resultado em cada lado de um polígono cujos vértices, na ordem anti-horária, são l(x1,y1r),dots,l(xn,ynr), mostrar que a área vale
A ;=;12l[(x1y2-x2y1) + (x2y3-x3y2) + cdots + (xn-1yn-xnyn-1)r]
Por fim, aplicar a fórmula para o pentágono com vértices (0,0),(2,1),(1,3),(0,2),(-1,1).

Passo 2

Parametrizamos o segmento C por
x(t) = (1-t)x1 + t,x2, y(t) = (1-t)y1 + t,y2, 0<= t<= 1
Então
dx = (x2-x1),dt, dy = (y2-y1),dt
Substituindo em integralCx,dy - y,dx, obtemos
integral0^1l[x(t),(y2-y1) - y(t),(x2-x1)r]dt
Como x(t)=(1-t)x1+t x2 e y(t)=(1-t)y1+t y2, a integral se reduz a
integral0^1l[x1(y2-y1) + t(x2-x1)(y2-y1) - y1(x2-x1) - t(y2-y1)(x2-x1)r]dt ;=;x1y2-x2y1

Passo 3

Para fechar o polígono, somamos a contribuição de cada lado Ci de l(xi,yir) a l(xi+1,yi+1r). Pelo passo anterior,
oint x,dy - y,dx =sumi=1^n(xiyi+1-xi+1yi)
Mas pelo Teorema de Green, oint x,dy - y,dx = 2A. Logo
A = 12sumi=1^nl(xiyi+1-xi+1yir)

Passo 4

No pentágono (0,0)to(2,1)to(1,3)to(0,2)to(-1,1)to(0,0) calculamos cada termo xiyi+1-xi+1yi:
0cdot1-2cdot0=0, 2cdot3-1cdot1=5, 1cdot2-0cdot3=2, 0cdot1-(-1)cdot2=2, (-1)cdot0-0cdot1=0
A soma total é 0+5+2+2+0=9, então
A = 12cdot 9 = 92

Resposta

A área do pentágono é 92

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