Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
sigma(u, v)=(u, v, 1-u-v), u >= 0, v >= 0 e u+v <= 1.

Passo 1

O enunciado nos dá uma aplicação paramétrica
sigma(u,v) = (u,,v,,1 - u - v)
definida no domínio
D = (u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
O que queremos é “identificar” geometricamente a superfície gerada por sigma.

Passo 2

Vamos achar uma equação implícita que todos os pontos (x,y,z)=sigma(u,v) satisfazem. Como
x = u, y = v, z = 1 - u - v,
somando as três coordenadas obtém-se
x + y + z = u + v + (1-u-v) = 1
Logo, a imagem de sigma está contida no plano
x + y + z = 1

Passo 3

Agora é preciso ver que parte desse plano é coberta. No domínio D, os pontos extremos são
(u,v) = (0,0)mapsto (0,0,1), (1,0)mapsto (1,0,0), (0,1)mapsto (0,1,0)
Como u e v variam no triângulo u,v>=0,;u+v<=1, a imagem é exatamente a região triangular fechada cujos vértices em R^3 são
(0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0).

Passo 4

Concluímos que sigma parametriza o triângulo no primeiro octante do plano ,x+y+z=1. Em outras palavras, é o pedaço plano delimitado por essas três arestas entre (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0).

Resposta

A superfície é o triângulo fechado no plano ,x+y+z=1 com vértices em (0,0,1), (1,0,0) e (0,1,0).

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