Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi\) - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas : \(f(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in[-\pi, 0] \\\\ 0, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função f como periódica de período 2\pi e com valor
f(x)= \begin{cases} 1,&x\in[-\pi,0],\\\\ 0,&x\in[0,\pi]. \end{cases}
Queremos desenvolver essa função em série de Fourier, ou seja, encontrar
\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx,
e
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx.

Passo 2

Calculamos primeiro
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(\int_{-\pi}^{0}1\,dx+\int_{0}^{\pi}0\,dx\Bigr) =\frac{1}{\pi}\bigl(0-(-\pi)\bigr) =1.
Logo o termo constante é \tfrac{a_0}{2}=\tfrac12.

Passo 3

Para a_n usamos
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}\cos(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{x=-\pi}^{x=0}.
Como \sin(0)=0 e \sin(-n\pi)=0, segue que a_n=0 para todo n\ge1.

Passo 4

Para b_n temos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{x=-\pi}^{x=0} =\frac{1}{\pi}\frac{-\cos(0)+\cos(-n\pi)}{n}.
Como \cos(0)=1 e \cos(-n\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
b_n=\frac{(-1)^n-1}{n\pi}.
Isto vale que b_n=0 se n é par e b_n=-\tfrac{2}{n\pi} se n é ímpar.

Passo 5

Montando a série de Fourier,
f(x)\sim\frac12+\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx) =\frac12+\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^{\infty}\Bigl(-\frac{2}{n\pi}\Bigr)\sin(nx).
Reindexando n=2k+1, temos a forma mais conhecida:
f(x) =\frac12 -\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

Resposta

f(x) =\frac12 -\frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin\bigl((2k+1)x\bigr)}{2k+1}.

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