Escreva a fórmula para curvatura em função de

e .

Passo 1

O enunciado pede a fórmula da curvatura kappa(t) de uma curva no espaço definida por r(t), expressa em função das derivadas primeiras r'(t) e segundas r''(t). Vamos usar a definição de curvatura via vetor velocidade e aceleração.

Passo 2

A curvatura também pode ser dada por
kappa(t)=|dTds|,
onde T=r'(t)/|r'(t)| é o versor tangente e s é o comprimento de arco. Fazendo a conta e usando a relação d/ds=(1/|r'|),d/dt, obtém-se a fórmula em termos de r' e r''.

Resposta

kappa(t) = |r'(t)timesr''(t)||r'(t)|^3

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