Escreva a fórmula de Rayleigh-Jeans da radiância espectral em função do comprimento de onda?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício pedindo pra escrever a fórmula de Rayleigh-Jeans da radiância espectral em função do comprimento de onda. Essa questão faz parte da matéria de Física, mais especificamente no estudo da radiação do corpo negro. Para resolver, vamos precisar entender o que é a radiância espectral, o que a lei de Rayleigh-Jeans descreve e como relacionar frequência com comprimento de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a radiância espectral. Ela indica quanta energia uma onda eletromagnética carrega em uma certa faixa de frequência ou comprimento de onda. A lei de Rayleigh-Jeans nos dá uma fórmula para essa radiância espectral em função da frequência.
A fórmula padrão da lei de Rayleigh-Jeans em termos de frequência $ \nu $ é:
Aqui, $ B(\nu, T) $ é a radiância espectral, $ \nu $ é a frequência, $ T $ a temperatura, $ k_B $ a constante de Boltzmann e $ c $ a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, queremos a fórmula em função do comprimento de onda $ \lambda $ ao invés da frequência. Sabemos que a frequência e o comprimento de onda estão relacionados pela equação:
Vamos substituir $ \nu $ por $ \frac{c}{\lambda} $ na fórmula de Rayleigh-Jeans e ajustar a expressão para termos $ B(\lambda, T) $.
Primeiro, substituindo:
Simplificando:
Mas isso não está completo! Precisamos considerar que ao mudar de variável de $ \nu $ para $ \lambda $, há um termo adicional que vem da derivada $ d\nu/d\lambda $. Essa derivada é:
Então, a expressão final fica:
Resposta
A fórmula de Rayleigh-Jeans da radiância espectral em função do comprimento de onda $ \lambda $ é: