A roda da figura tem oito raios de 23,9 cm igualmente espaçados e está montada em um eixo fixo e gira a 66 rpm.
Você deseja atirar uma flecha de 28,4 cm de comprimento paralelamente ao eixo da roda sem atingir um dos raios. Suponha que a flecha e os raios sejam muito finos.
Calcule a menor velocidade ( em m / s ) que a flecha deve ter para atravessar a roda sem atingir os raios.
Dado: considere que quando a flecha chega na roda ela esta exatamente na posição onde existe um raio. Escreva o resultado com uma casa decimal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma roda com oito raios, cada um com 23,9 cm, e ela gira a 66 rpm (rotações por minuto). O objetivo é atirar uma flecha de 28,4 cm paralelamente ao eixo da roda e fazer isso sem acertar nenhum raio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento circular e cinemática. Precisamos calcular a menor velocidade que a flecha deve ter para passar pela roda sem colidir com os raios.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de rotação da roda de rpm (rotações por minuto) para rad/s (radianos por segundo), que é a unidade que usamos nos cálculos de movimento circular.
Sabemos que:
omega = rpm times 2pi60
Onde:
  • omega = 66 times 2pi60 approx 6,92 , rad/s é a velocidade angular em rad/s
  • radianos é igual a uma rotação completa
  • 60 segundos em um minuto
Então:

Passo 3

Agora, vamos pensar no tempo que a flecha leva para passar pela roda. A flecha tem 28,4 cm de comprimento, e a velocidade dela é T = Lv . O tempo que a flecha leva para passar completamente pela roda é:
Onde .

Passo 4

Durante o tempo De, a roda gira um certo ângulo De. Esse ângulo é dado por:
Substituindo :

Passo 5

Para que a flecha não acerte nenhum raio, a roda precisa girar pelo menos o ângulo entre dois raios adjacentes. Como são 8 raios igualmente espaçados, o ângulo entre eles é:
360^circ8 = 45^circ
Mas para garantir que não vai acertar, queremos que a roda gire pelo menos metade desse ângulo:
De

Passo 6

Agora, igualamos as duas expressões para omega times Lv = pi8 e resolvemos para v = 8 omega Lpi :
v = 8 times 6,92 times 0,284pi approx 15,723,1416 approx 5,0 , m/s
Isolando :
Substituindo os valores:

Resposta

A menor velocidade que a flecha deve ter para atravessar a roda sem acertar os raios é aproximadamente 5,0 m/s.

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