Escreva as frações decimais 0,412412412 cdots e 0,021343434343 cdots como:
encontre a soma da série e a escreva como o quociente de dois inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para converter as frações decimais periódicas
0,412412412cdots e 0,021343434343cdots em quocientes de dois inteiros, ou seja, em frações. Para isso, vamos usar a interpretação dessas dízimas como somas de séries geométricas ou a fórmula direta que relaciona parte não periódica e periódica.

Passo 2

Analisando
0,412412412cdots
vemos que é um decimal periódico puro com período de 3 dígitos “412”. Chamando
x = 0,412412412cdots
podemos escrevê-lo como soma da série geométrica
x = sumk=1^infty 412 times 10^-3k = 412/10^31 - 1/10^3 = 412/10001 - 1/1000 = 4121000 - 1 = 412999
Não há fator comum maior entre 412 e 999, então essa é a forma irredutível.

Passo 3

Agora a dízima
0,021343434343cdots
tem parte não periódica “0213” (quatro dígitos) seguida do período “43” (dois dígitos). Seja
y = 0,021343434343cdots
Aplicamos a fórmula
y = (todos os dígitos até um período) - (parte não periódica)10^m,l(10^n-1r), íéíãó
onde m=4 e n=2. Os dígitos até um período são “021343”, isto é, 21343, e a parte não periódica é “0213”, isto é, 213. Logo,
y = 21343 - 21310^4(10^2-1) = 2113010000 times 99 = 21130990000 = 211399000,
após simplificar por 10. O numerador e o denominador não têm mais fatores comuns.

Resposta

0,412412412cdots = 412999, 0,021343434343cdots = 211399000

Exercícios relacionados