Use o mûˋtodo de integraûÏûÈo por partes para determinar as seguintes integrais
integral x e^-x d x

Passo 1

O exercício pede para calcular
integral x e^-x,dx
usando o método de integração por partes. A ideia desse método é pegar o produto de duas funções, designar uma como u (para simplificar ao derivar) e outra como dv (para integrar facilmente), e usar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhendo
u = x, dv = e^-x,dx
temos
du = dx
v = integral e^-x,dx = -e^-x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x,dx = u,v - integral v,du = -x e^-x - integrall(-e^-xr),dx = -x e^-x + integral e^-x,dx
Agora basta integrar integral e^-x,dx:
integral e^-x,dx = -e^-x
Logo, juntando tudo,
integral x e^-x,dx = -x e^-x - e^-x + C = -(x+1)e^-x + C

Resposta

-(x+1)e^-x + C

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