Use o mûˋtodo de integraûÏûÈo por partes para determinar as seguintes integrais
integral x^2 cos (5 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2cos(5x),dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar aplicar a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
duas vezes, pois após a primeira aplicação ainda sobra uma integral com fator x.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = cos(5x),dx
Então
du = 2x,dx, v = integral cos(5x),dx = 15sin(5x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes na integral original:
integral x^2cos(5x),dx = u,v - integral v,du = x^2cdot15sin(5x) - integral 15sin(5x)cdot 2x,dx
= x^25sin(5x) - 25integral xsin(5x),dx

Passo 4

Agora calculamos integral xsin(5x),dx por partes novamente. Seja
u = x, dv = sin(5x),dx
du = dx, v = integral sin(5x),dx = -15cos(5x)
Logo,
integral xsin(5x),dx = xcdotl(-15cos(5x)r) - integral l(-15cos(5x)r),dx
= -x5cos(5x) + 15integral cos(5x),dx = -x5cos(5x) + 15cdot15sin(5x)
= -x5cos(5x) + 125sin(5x)

Passo 5

Substituindo em
integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) - 25integral xsin(5x),dx, temos
integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) - 25l(-x5cos(5x) + 125sin(5x)r)
= x^25sin(5x) + 2x25cos(5x) - 2125sin(5x) + C
Podemos agrupar os termos em sin(5x) se quisermos, mas esta forma já está correta.

Resposta

integral x^2cos(5x),dx = x^25sin(5x) + 2x25cos(5x) - 2125sin(5x) + C

Exercícios relacionados