Escreva as frações decimais 0,412412412 cdots e 0,021343434343 cdots como:
uma série infinita;

Passo 1

O enunciado pede para escrever as dízimas periódicas
,0,412412412cdots e ,0,021343434343cdots
como séries infinitas. Vamos usar a ideia de agrupar o bloco repetido de dígitos e reconhecer uma progressão geométrica.

Passo 2

Para 0,412412412cdots o bloco periódico é “412”, que tem 3 dígitos, e começa imediatamente após a vírgula. Cada ocorrência de “412” corresponde a
412times 10^-3, 412times 10^-6, 412times 10^-9,dots
Logo,
0,412412412cdots =sumn=1^infty412cdot 10^-3n

Passo 3

Para 0,021343434343cdots há uma parte não periódica “0213” (quatro dígitos) seguida do bloco periódico “43” (dois dígitos).
  • A parte não periódica é
0,0213 = 21310^4
  • O bloco “43” começa na quinta casa decimal, gerando os termos
43times 10^-6,;43times 10^-8,;43times 10^-10,dots
que se escrevem como
sumn=1^infty43cdot 10^-(4+2n)
Portanto,
0,021343434343cdots =21310^4 +sumn=1^infty43cdot 10^-(4+2n)

Resposta

0,412412412cdots =sumn=1^infty412cdot 10^-3n, 0,021343434343cdots =21310^4 +sumn=1^infty43cdot 10^-(4+2n)

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