Use o mûˋtodo de integraûÏûÈo por partes para determinar as seguintes integrais
integral s^3 e^-s d s

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral s^3e^-s,ds
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar essa fórmula repetidas vezes, reduzindo a potência de s a cada passo.

Passo 2

Escolhemos
u = s^3 e dv = e^-s,ds.
Então
du = 3s^2,ds
e
v = integral e^-s,ds = -,e^-s
Substituindo em integral u,dv:
integral s^3e^-s,ds = u,v - integral v,du = -,s^3e^-s - integrall(-,e^-sr),3s^2,ds = -,s^3e^-s + 3integral s^2e^-s,ds

Passo 3

Agora calculamos
integral s^2e^-s,ds
por partes de novo. Tomamos
u = s^2 e dv = e^-s,ds,
logo
du = 2s,ds e v = -,e^-s
Assim
integral s^2e^-s,ds = -,s^2e^-s - integrall(-,e^-sr),2s,ds = -,s^2e^-s + 2integral s,e^-s,ds

Passo 4

Falta calcular
integral s,e^-s,ds.
De novo, por partes, escolhemos
u = s e dv = e^-s,ds,
então
du = ds e v = -,e^-s
Logo
integral s,e^-s,ds = -,s,e^-s - integrall(-,e^-sr),1,ds = -,s,e^-s + integral e^-s,ds = -,s,e^-s - e^-s

Passo 5

Substituindo em integral s^2e^-s,ds:
integral s^2e^-s,ds = -,s^2e^-s + 2l(-,s,e^-s - e^-sr) = -,s^2e^-s - 2s,e^-s - 2e^-s

Passo 6

Finalmente, voltamos a
integral s^3e^-s,ds:
integral s^3e^-s,ds = -,s^3e^-s + 3l(-,s^2e^-s - 2s,e^-s - 2e^-sr)
= -,s^3e^-s - 3s^2e^-s - 6s,e^-s - 6e^-s
Fatorando -e^-s:
integral s^3e^-s,ds = -,e^-sl(s^3 + 3s^2 + 6s + 6r) + C

Resposta

integral s^3e^-s,ds = -,e^-sl(s^3 + 3s^2 + 6s + 6r) + C

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