Escreva a função composta na forma f(g(x)). [Identifique a função de dentro u=g(x) e a de fora y=f(u).] Então, encontre a derivada d y / d x.
y=raizx^3+2

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
y = raizx^3 + 2
como uma função composta f(g(x)), identificando a parte interna u = g(x) e a externa y = f(u), e em seguida calcular a derivada dfracdydx usando a regra da cadeia.

Passo 2

Escolhemos a função interna e a externa de modo natural:
g(x) = x^3 + 2, pois é o argumento do radical,
e
f(u) = raizu = u^tfrac12, pois a parte externa aplica a raiz em u.

Passo 3

A regra da cadeia diz que, se y = f(u) e u = g(x), então
dydx = f'(u),dudx

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
dudx = ddx(x^3 + 2) = 3x^2,
f'(u) = ddul(u^tfrac12r) = tfrac12,u^-tfrac12 = 12raizu

Passo 5

Substituindo u = x^3 + 2 na expressão da regra da cadeia, obtemos
dydx = f'(u),dudx = 12raizu;times;3x^2 = 3x^22raizx^3 + 2

Resposta

A função composta é
f(g(x)) com g(x)=x^3+2,;f(u)=raizu,
e a derivada é
dydx = 3x^22raizx^3+2

Exercícios relacionados